[論文レビュー] Rigorous computation of invariant measures and fractal dimension for piecewise hyperbolic maps: 2D Lorenz like maps

Stefano Galatolo, Isaia Nisoli|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、無限の微分を伴う2次元区分的双曲的写像（例：Lorenz型系）における不変測度およびフラクタル次元の厳密な計算的手法を提示する。区間演算とLasota-Yorke型不等式、Ulam離散化を組み合わせることで、Wasserstein距離における明示的な誤差境界を達成し、非自明なLorenz型写像の物理的測度の局所次元に対する数学的に厳密な推定を可能にする。

ABSTRACT

We consider a class of piecewise hyperbolic maps from the unit square to itself preserving a contracting foliation and inducing a piecewise expanding quotient map, with infinite derivative (like the first return maps of Lorenz like flows). We show how the physical measure of those systems can be rigorously approximated with an explicitly given bound on the error, with respect to the Wasserstein distance. We apply this to the rigorous computation of the dimension of the measure. We present a rigorous implementation of the algorithms using interval arithmetics, and the result of the computation on a nontrivial example of Lorenz like map and its attractor, obtaining a statement on its local dimension.

研究の動機と目的

• 無限の微分を伴う区分的双曲的写像における物理的不変測度の計算的厳密な近似手法の開発。
• Wasserstein距離における不変測度近似の明示的で数学的に正当な誤差境界の提供。
• このような系における物理的測度のフラクタル次元の厳密な推定を可能にする。
• 数値的信頼性と正しさを保証するため、区間演算を用いてアルゴリズムを実装。
• 非自明な2次元Lorenz型写像の例に本手法を適用し、その局所次元に関する数学的に厳密な記述を提示。

提案手法

• 写像の不変測度を近似するために、無限微分を伴う区分的拡大写像の転送作用素に対するUlam離散化を用いる。
• 変動ノルムの境界を含む、改良されたLasota-Yorke不等式を適用し、2階微分および密度の正則性の項を組み込む。
• 誤差境界は有界 variation (BV) ノルムとWasserstein距離を用いて導出され、収束の厳密な推定を保証する。
• 区間演算を用いてすべての量を保証された精度で計算し、浮動小数点誤差を回避する。
• 初期測度に対して転送作用素を繰り返し適用し、BVノルムの制御によって収束速度を推定する。
• 分割の細分化戦略を用いて計算コストを低減しつつ、変動および微分項の慎重な推定により誤差境界を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限微分を伴う2次元区分的双曲的写像の不変測度は、明示的な誤差境界を伴って計算可能か？
• RQ2 計算された不変測度を用いて、物理的測度のフラクタル次元をどのように厳密に推定できるか？
• RQ3 有界でない微分が存在する状況下でも、正しさと収束を保証する最小限の計算フレームワークは何か？
• RQ4 区間演算は関数解析的手法と効果的に組み合わせられ、数学的に厳密な数値結果を生み出せるか？
• RQ5 非自明な2次元Lorenz型写像の吸引子の局所次元は何か？そして、それを数学的に厳密に境界付けられるか？

主な発見

• 著者らは、区間演算とUlam離散化を用いて、2次元Lorenz型写像の不変測度をWasserstein距離における明示的誤差境界とともに正しく計算した。
• 非自明な例に対して、物理的測度の局所次元に関する数学的に厳密な境界を得た。この値はヒューリスティックな推定と整合的であるが、今や数学的証明を伴う。
• 有界変動（BV）ノルムの制御を通じて、無限微分を考慮した改良されたLasota-Yorke不等式により、誤差率が計算可能な収束が達成された。
• 実装により、収縮する繊維と無限微分を伴う系が、関数解析的手法と区間演算を用いて厳密に取り扱えることが示された。
• 分割の細分化戦略により計算コストを低減しつつ誤差境界を維持したため、非自明な例に対してもスケーラブルな手法となった。
• 本稿は、無限微分を伴う区分的拡大写像の不変測度が、明示的な誤差境界を伴って近似可能であることを確立し、既知の結果を非拡大方向へ拡張した。