[論文レビュー] Rigorous data-driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems

Matthew J. Colbrook, Alex Townsend|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、軌道データからKoopman作用素のスペクトル特性を計算するためのデータ駆動型アルゴリズム、Residual Dynamic Mode Decomposition (ResDMD) を導入している。収束保証が厳密に保証されており、スペクトル、擬似スペクトル、スペクトル測度を、スペクトル汚染を伴わずに正確に計算可能である。さらに、カオス的システムや高次元ダイナミクスに対しても誤差バウンダリーを提供する。

ABSTRACT

Koopman operators are infinite-dimensional operators that globally linearize nonlinear dynamical systems, making their spectral information valuable for understanding dynamics. However, Koopman operators can have continuous spectra and infinite-dimensional invariant subspaces, making computing their spectral information a considerable challenge. This paper describes data-driven algorithms with rigorous convergence guarantees for computing spectral information of Koopman operators from trajectory data. We introduce residual dynamic mode decomposition (ResDMD), which provides the first scheme for computing the spectra and pseudospectra of general Koopman operators from snapshot data without spectral pollution. Using the resolvent operator and ResDMD, we compute smoothed approximations of spectral measures associated with general measure-preserving dynamical systems. We prove explicit convergence theorems for our algorithms, which can achieve high-order convergence even for chaotic systems when computing the density of the continuous spectrum and the discrete spectrum. Since our algorithms come with error control, ResDMD allows aposteri verification of spectral quantities, Koopman mode decompositions, and learned dictionaries. We demonstrate our algorithms on the tent map, circle rotations, Gauss iterated map, nonlinear pendulum, double pendulum, and Lorenz system. Finally, we provide kernelized variants of our algorithms for dynamical systems with a high-dimensional state space. This allows us to compute the spectral measure associated with the dynamics of a protein molecule with a 20,046-dimensional state space and compute nonlinear Koopman modes with error bounds for turbulent flow past aerofoils with Reynolds number $>10^5$ that has a 295,122-dimensional state space.

研究の動機と目的

• 非線形力学系におけるKoopman作用素のスペクトル特性を計算する課題に取り組むこと。特に、スペクトルが連続的または無限次元である場合を想定する。
• スペクトル汚染を回避し、スペクトル測度および固有値に対して厳密な収束保証を提供するデータ駆動型アルゴリズムの開発。
• 計算可能な誤差バウンダリーを用いて、Koopmanモード分解および学習済み辞書の事後検証を可能にすること。
• カーネル化されたアルゴリズムを用いて、乱流や分子動力学のような高次元システムへのスペクトル計算の拡張。

提案手法

• スペクトル汚染を伴わずに、スナップショットデータからKoopman作用素のスペクトルおよび擬似スペクトルを計算する新規な手法、Residual Dynamic Mode Decomposition (ResDMD) を導入。
• 測度を保存する力学系に対して、リゾルベント作用素を用いてスペクトル測度の滑らか化近似を計算。
• 有限次元部分空間におけるKoopman作用素の射影に基づく近似を採用し、誤差項 δ₁(NK)、δ₂(NK)、δ₃(NK) を用いて収束を制御。
• リゾルベント恒等式とコーシー–シュワルツ不等式を用いて、リゾルベントを含む内積の明示的誤差バウンダリーを導出。
• 一般化されたシュール分解を必要とせず、O(NK²) 演算で誤差バウンダリーを計算可能であり、これにより Nₖ の適応的精錬が可能。
• 20,046次元のタンパク質動力学や295,122次元の乱流の状態空間のような高次元状態空間を扱うために、アルゴリズムのカーネル化された変種を開発。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道データからKoopman作用素のスペクトル特性を、厳密な収束保証と誤差制御を伴って計算可能か？
• RQ2 一般の力学系において、Koopman作用素のスペクトルおよび擬似スペクトルを計算する際に、どのようにしてスペクトル汚染を回避できるか？
• RQ3 連続スペクトルを有する系に対して、データ駆動型手法を用いてスペクトル測度を正確に近似可能か？
• RQ4 カオス的システムにおいて、特に連続スペクトルの密度を計算する際のアルゴリズムの収束挙動はいかなるものか？
• RQ5 誤差バウンダリーと計算可能性を維持したまま、高次元システムへの拡張は可能か？

主な発見

• ResDMD は、スペクトル汚染を伴わず、一般のKoopman作用素のスペクトルおよび擬似スペクトルを計算する最初のデータ駆動型手法である。
• カオス的システムにおいても、連続スペクトルの密度および離散スペクトルを計算する際、高次の収束を達成する。
• 明示的な誤差バウンダリーが導出され、O(NK²) 演算で計算可能であり、これによりスペクトル量およびKoopmanモード分解の事後検証が可能。
• この手法は、テント写像、円周回転、ガウス反復写像、非線形単振子、二重振子、およびローレンツ系のような系のスペクトル測度を計算可能。
• カーネル化されたResDMDは、Reynolds数 >10⁵ の翼型周囲の乱流に対して、非線形Koopmanモードを誤差バウンダリーを伴って計算可能であり、295,122次元の状態空間を扱う。
• 20,046次元のタンパク質分子に対し、カーネル化されたアルゴリズムは、関連するスペクトル測度を厳密な誤差制御で計算可能。