[論文レビュー] Rigorous derivation of the Whitham equations from the water waves equations in the shallow water regime

Louis Emerald|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、浅水域における完全な水波方程式からWhitham方程式を、2種類の異なる手法を用いて厳密に導出する。1つは単方向波の仮定の下でのリーマン不変量に基づく近似法、もう1つは双方向伝播のための一般化されたBirkhoff正準形法である。主な結果は、Whithamモデルの誤差項がμεのオーダーであることを明示した精度の高い誤差推定であり、特に分散が弱くない場合にKorteweg–de Vries近似よりも優れた精度を示している。

ABSTRACT

We derive the Whitham equations from the water waves equations in the shallow water regime using two different methods, thus obtaining a direct and rigorous link between these two models. The first one is based on the construction of approximate Riemann invariants for a Whitham-Boussinesq system and is adapted to unidirectional waves. The second one is based on a generalisation of Birkhoff's normal form algorithm for almost smooth Hamiltonians and is adapted to bidirectional propagation. In both cases we clarify the improved accuracy on the fully dispersive Whitham model with respect to the long wave Korteweg-de Vries approximation.

研究の動機と目的

• 完全な水波方程式と浅水域におけるWhitham方程式との間の厳密な数学的関係を確立すること。
• Whithamモデルの精度をKorteweg–de Vries（KdV）方程式と比較して定量的に評価することで、既存の近似を改善すること。
• 単方向波（リーマン不変量を用いる）と双方向波（ハミルトニアン正準形を用いる）の2つの異なる物理的状態の下でWhitham方程式を導出すること。
• 浅水域パラメータμと非線形性パラメータεを用いて誤差を明示的に推定することで、Whitham方程式の有効範囲を明確にすること。
• 分散が小さいとは限らない場合でも、WhithamモデルがKdV近似よりも優れた近似であることを示すこと、特に中程度の非線形性下でも有効であることを示すこと。

提案手法

• 第一の手法：単方向波の仮定の下で、Whitham-Boussinesq系に対する近似リーマン不変量を構築し、Whitham方程式を導出する。
• 第二の手法：滑らかさがやや低いハミルトニアンに対してBirkhoffの正準形アルゴリズムを一般化し、水波系における双方向波伝播を扱う。
• 一般化された正準形を用いて、解を互いに結合されていない2つの逆向きの波に分解し、それぞれがWhitham型方程式に従うようにする。
• 関数解析的道具を用いる：ソボレフ空間およびBeppo-Levi空間、ディリクレ＝ノイマン作用素、フーリエ乗算作用素の推定。
• 重み付きソボレフ空間における積、合成、商の推定を用いて、非線形項と剰余項を制御する。
• エネルギー推定と時間スケール(max(μ, ε))⁻¹における剰余項の一様有界性を用いて、誤差境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な水波方程式から浅水域におけるWhitham方程式を、誤差項の明示的推定を伴って厳密に導出できるか？
• RQ2 分散が弱くない場合に、Whithamモデルの精度はKdV近似と比べてどのように異なるか？
• RQ3 初期データの準備が、Whitham方程式の近似としての有効性に果たす役割は何か？
• RQ4 ハミルトニアン正準形法を用いて、双方向水波系を2つの結合されていないWhitham型方程式の組で近似できるか？
• RQ5 水波解のWhitham型方程式による近似における剰余項の正確なオーダーは何か？

主な発見

• 単方向波の場合、リーマン不変量と適切に準備された初期データを用いることで、水波方程式からWhitham方程式をμεの誤差で厳密に導出できた。
• 双方向伝播の場合、一般化されたBirkhoff正準形法を用いることで、時間スケール(max(μ, ε))⁻¹の範囲で誤差がε² + (με + ε²)tのオーダーで抑えられる近似が得られた。
• μが小さいとは限らない領域では、WhithamモデルがKdV方程式よりも優れた近似であることが示された。これは、分散の扱いが優れているためである。
• ε ≤ μ（弱い非線形性）の場合、Whitham近似はεのオーダーで正確であるが、KdV近似はμ + εのオーダーに劣化するため、この領域でもWhithamの優位性が確認された。
• 逆向きの波に系を分離するための正則性の損失を、明示的に推定することで、その必要性を特定した。
• 近似における剰余項は、時間区間[0, T / max(μ, ε)]において(μ, ε)に関して一様有界であるため、浅水域領域全体にわたり安定であることが保証された。