[論文レビュー] Rigorous error estimates for the memory integral in the Mori-Zwanzig formulation

Yuanran Zhu, Jason Dominy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、状態空間および確率密度関数の定式化の両方に適用可能な、Mori-Zwanzig形式における記憶積分の厳密な誤差見積もりと、証明可能な収束性を持つ近似手法を提示する。短記憶近似、特に$t$-モデルおよび新規の階層的有限記憶スキームを含め、収束条件と誤差バウンダリーを確立し、確率的初期条件を有する線形および非線形系における数値的妥当性を検証する。

ABSTRACT

We develop rigorous error estimates and provably convergent approximations for the memory integral in the Mori-Zwanzig (MZ) formulation. The new theory is build upon rigorous mathematical foundations and it is presented for both state-space and probability density function space formulations of the MZ equation. In particular, we derive error bounds and sufficient convergence conditions for short-memory approximations, the $t$-model and new types of hierarchical finite-memory approximations. Numerical examples demonstrating convergence of the proposed algorithms are presented for linear and nonlinear dynamical systems evolving from random initial states.

研究の動機と目的

• Mori-Zwanzig形式における記憶積分の数学的に厳密な誤差バウンダリーの開発。
• 状態空間および確率密度関数の両定式化における記憶項の証明可能な収束性を持つ近似手法の確立。
• 短記憶近似、特に$t$-モデルおよび新規の階層的有限記憶スキームの収束に十分な条件の導出。
• 線形および非線形力学系における理論的収束の数値的検証、初期状態が確率的である場合を含む。

提案手法

• 状態空間および確率密度関数の両定式化において、記憶積分の誤差バウンダリーを厳密な数学的解析を用いて導出する。
• $t$-モデルを短記憶近似として導入し、その収束条件を明確に定義する。
• より良好な収束特性を実現することを目的とした新規の階層的有限記憶近似を提案し、分析する。
• 確率的初期状態から始まる線形および非線形力学系に理論を適用する。
• 数値シミュレーションを用いて、提案された近似の収束を実証する。
• 近似が真の記憶積分に収束する十分な条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mori-Zwanzig形式における記憶積分の、状態空間および確率密度関数の両定式化における厳密な誤差バウンダリーは何か？
• RQ2 短記憶近似、特に$t$-モデルが真の記憶積分に収束する条件は何か？
• RQ3 階層的有限記憶近似をどのように構築すれば収束性を保証し、精度を向上させられるか？
• RQ4 確率的初期状態を有する非線形系において、提案された近似の収束特性はいかなるものか？

主な発見

• 本稿では、Mori-Zwanzig方程式の状態空間および確率密度関数の両定式化における記憶積分について、厳密な誤差バウンダリーを確立した。
• $t$-モデル近似の収束に十分な条件が導出され、指定された数学的基準を満たす限りその有効性が保証された。
• 新規の階層的有限記憶近似が提案され、導出された条件のもとで収束することが証明された。
• 数値結果により、確率的初期状態を有する線形および非線形系において、提案されたアルゴリズムの収束が確認された。