[論文レビュー] Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives

Fredrik Johansson|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、誤差境界が厳密に保証される高精度なアルゴリズムを用いて、Hurwitzゼータ関数 ζ(s,a) 及びその導関数の計算を行う。Euler-Maclaurinの公式を用い、γ₁₀₀₀₀₀ について最大10,860桁の正確な数値を達成し、Stieltjes定数、Keiper-Li係数、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点の記録的計算を実現した。

ABSTRACT

We study the use of the Euler-Maclaurin formula to numerically evaluate the Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$ for $s, a \in \mathbb{C}$, along with an arbitrary number of derivatives with respect to $s$, to arbitrary precision with rigorous error bounds. Techniques that lead to a fast implementation are discussed. We present new record computations of Stieltjes constants, Keiper-Li coefficients and the first nontrivial zero of the Riemann zeta function, obtained using an open source implementation of the algorithms described in this paper.

研究の動機と目的

• 任意の複素数 s および a に対して、誤差境界が保証された数値的厳密な方法でHurwitzゼータ関数 ζ(s,a) 及びその導関数を評価するための手法を開発すること。
• 既存のEuler-Maclaurin手法を拡張し、任意の複素数 s および a、任意の数の s に関する導関数に対応できるようにすること。
• Stieltjes定数やKeiper-Li係数のような特殊定数を、前例のない精度で計算可能とし、精度が保証された形で計算すること。
• 高精度算術および大規模計算に適したオープンソースで効率的な実装を提供すること。
• 高精度評価において壊滅的キャンセルを引き起こす可能性がある中間計算の悪条件性を克服すること。

提案手法

• Hurwitzゼータ関数にEuler-Maclaurin和公式を適用し、積分剰余項による解析接続を用いる。
• 剰余積分 R の誤差境界を、主要級級数および周期的ベルヌーイ多項式の境界を用いて厳密に導出する。
• s に関する導関数は、s を形式的べき級数変数とみなすことにより、同時に複数の導関数を評価可能とする。
• s=1 における極に対し、発散項 I を形式的べき級数合成により解析接続することで処理する。
• 効率的な実装では、尾部和に2分法分割を用い、高速多項式算術を活用して計算コストを低減する。
• アルゴリズムは並列化され、高精度算術に最適化されており、各項ごとに精度を動的に調整することで、メモリと計算量を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Euler-Maclaurinの公式を、任意の複素数 s および a、任意の数の導関数に対し、Hurwitzゼータ関数およびその導関数の誤差境界が厳密に保証される形に適応可能か？
• RQ2 高精度評価（例：数百〜数千桁）における単一ポイント評価のため、ζ(s,a) の高精度評価を効率的かつスケーラブルに実現できるか？
• RQ3 本手法をStieltjes定数およびKeiper-Li係数の記録的計算に適用した際の性能と精度はどの程度か？
• RQ4 高精度算術における速度、メモリ使用量、信頼性の観点から、既存のアルゴリズムと比較して本手法はどのように差をつけるか？
• RQ5 本手法を用いて、Stieltjes定数のKnessl-Coffey漸近公式のようなヒューリスティックな近似を検証または反証できるか？

主な発見

• 本手法により、n ≤ 100,000 のすべてのStieltjes定数 γₙ を少なくとも10,860桁の正確な精度で計算可能であり、γ₁₀₀₀₀₀ は 1.991927306312541095658…×10⁸³⁴³² として計算された。
• n ≤ 100,000 のすべての γₙ の計算に16スレッドシステムで26時間、ピークメモリ80 GiBを要したが、大規模テーブル作成の実現可能性を示した。
• Knessl-Coffey近似は、n ≤ 100,000 の範囲で n=137 を除きすべての符号が正しく確認され、厳密な境界を用いた正確な精度を裏付けた。
• 実装により、n ≤ 1000 のすべての γₙ を1000桁の精度で11秒未塔で計算可能であり、Mathematica 9.0 よりも約4桁の速度向上を達成した。
• 本手法は、先行研究がヒューリスティックな推定に依存するのに対し、誤差境界を検証可能として提供しており、高精度算術における正しさを保証する。