[論文レビュー] Rigorous quantum field theory functional integrals over the p-adics: research announcement

Abdelmalek Abdesselam, Ajay Chandra+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

advanced mathematical theories参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元p進空間上にスケール不変で非ガウス型の一般化された確率過程を厳密に構成し、二乗スカラー場 $\phi^2$ の動的に生成された異常次元の存在を確立した。この結果は40年以上前にケネス・G・ウィルソンが予言した内容を裏付け、モデルの臨界挙動における弱い形の普遍性を示した。

ABSTRACT

In this short note we announce the construction of scale invariant non-Gaussian generalized stochastic processes over three dimensional p-adic space. The construction includes that of the associated squared field and our result shows this squared field has a dynamically generated anomalous dimension which rigorously confirms a prediction made more than forty years ago, in an essentially identical situation, by Kenneth G. Wilson. We also prove a mild form of universality for the model under consideration.

研究の動機と目的

• 3次元p進空間上にスケール不変で非ガウス型の一般化された確率過程を厳密に構成すること。
• ケネス・G・ウィルソンが予言したように、二乗場 $\nphi^2$ の動的に生成された異常次元の存在を確認すること。
• レノルム化群フロー下でのモデルの普遍性の弱い形を確立すること。
• p進類似を用いて実空間上に同様のモデルを構成するための青写真を提供すること。

提案手法

• 構成は、p進数体 $\nQ_p^3$ 上の関数積分を用い、$\nQ_p^d$ 上の調和解析と最大コンパクト部分群 $GL_d(\nZ_p)$ の構造を活用する。
• 関数空間 $S(\nQ_p^d)$ 上のフーリエ変換が、$\nZ_p^d$ の特性関数を保つことにより、双対性下での安定性を保証する。
• モデルは結合定数 $g$ における摂動的展開で定義され、スケール不変性を維持するために、レノルム化定数 $\mu(g), Y_0(g), Y_2(g)$ が調整される。
• スケーリング部分群 $L^\mathbb{Z}$ を用いてスケーリング性を分析し、相関関数が修正された同次性を持つ部分的スケール不変性を満たすことが示された。
• 規制された格子正則化において $r \to -\infty$, $s \to \infty$ の極限を取ることで、無限体積極限の存在が証明され、極限の順序に依存しないことが示された。
• 四次モーメントの非消滅と、$N[\phi^2]$ 二点関数の正規化により、非ガウス性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元p進空間上に、二乗場 $\phi^2$ の動的に生成された異常次元を有する非ガウス型でスケール不変な一般化された確率過程が存在するか？
• RQ2 ケネス・G・ウィルソンが当初に予言した二乗場の異常スケーリングが、p進的枠組みで厳密に確認できるか？
• RQ3 モデルはどの程度、結合定数 $g$ の小さな区間において普遍性を示すか？
• RQ4 異常次元 $\eta_{\phi^2}$ は、レノルム化スケール $L$ と結合定数 $g$ にどのように依存するか？

主な発見

• 構成により、$S'(\nQ_p^3)$ 上に有限モーメントを持つ一意な確率測度 $\nu_\phi$ が得られ、平行移動および回転に対して不変であり、同次性 $-[ phi]$ を持つ部分的スケール不変性を満たす。
• 二乗場 $N[\phi^2]$ は、有限モーメントを持ち、平行移動および回転に対して不変であり、同次性 $-2[ phi] - \frac{1}{2}\eta_{\phi^2}$ を持つ一意な確率測度 $\nu_{\phi^2}$ を生成する。
• 異常次元 $\eta_{\phi^2}$ は、$\epsilon$ が小さい極限において $\eta_{\phi^2} = \frac{2}{3}\epsilon + o(\epsilon)$ を満たすことが示され、$L$ に対して一次の独立性が示された。
• モデルは弱い形の普遍性を満たす：測度 $\nu_\phi$ および $\nu_{\phi^2}$ は、区間 $(\bar{g}_* - \rho\epsilon^{3/2}, \bar{g}_* + \rho\epsilon^{3/2})$ 内で $g$ に依存しない。
• 非自明性条件 $\langle\phi(\n1_{\nZ_p^3})^4\rangle - 3\langle\phi(\n1_{\nZ_p^3})^2\rangle < 0$ により、場の非ガウス性が確認された。
• $N[\phi^2]$ 二点関数は単位に正規化されている：$\langle N[\phi^2](\n1_{\nZ_p^3})^2\rangle = 1$ であり、場の強度の定義の一貫性が保証された。