[論文レビュー] Ring of Polytopes, Quasi-symmetric functions and Fibonacci numbers

Victor Matveevich Buchstaber, Н.Ю. Ероховец|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多面体のk次元余次元の面の和へ写像する作用素dₖを用いて、組合せ的凸多面体の環からℤ[α]係数の擬対称関数の環への環準同型を定義する。主な結果として、ℚ上では像が自由多項式環であり、そのn次の部成分の次元がn番目のフィボナッチ数に等しくなることが示され、フィボナッチ数列の母関数の無限積表示が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study the ring $\mathcal{P}$ of combinatorial convex polytopes. We introduce the algebra of operators $\mathcal{D}$ generated by the operators $d_k$ that send an $n$-dimensional polytope $P^n$ to the sum of all its $(n-k)$-dimensional faces. It turns out that $\mathcal{D}$ is isomorphic to the universal Leibnitz-Hopf algebra with the antipode $χ(d_k)=(-1)^kd_k$. Using the operators $d_k$ we build the generalized $f$-polynomial, which is a ring homomorphism from $\mathcal{P}$ to the ring $\Qsym[t_1,t_2,...][α]$ of quasi-symmetric functions with coefficients in $\mathbb Z[α]$. The images of two polytopes coincide if and only if their flag $f$-vectors are equal. We describe the image of this homomorphism over the integers and prove that over the rationals it is a free polynomial algebra with dimension of the $n$-th graded component equal to the $n$-th Fibonacci number. This gives a representation of the Fibonacci series as an infinite product. The homomorphism is an isomorphism on the graded group $BB$ generated by the polytopes introduced by Bayer and Billera to find the linear span of flag $f$-vectors of convex polytopes. This gives the group $BB$ a structure of the ring isomorphic to $f(\mathcal{P})$. We show that the ring of polytopes has a natural Hopf comodule structure over the Rota-Hopf algebra of posets. As a corollary we build a ring homomorphism $l_α\colon\mathcal{P} o\mathcal{R}[α]$ such that $F(l_α(P))=f(P)^*$, where $F$ is the Ehrenborg quasi-symmetric function.

研究の動機と目的

• 組合せ的凸多面体の環からℤ[α]係数の擬対称関数の環への環準同型を、面の和作用素dₖを用いて構成すること。
• この準同型の像を整数および有理数上で特徴づけ、特にその次数付き構造を特定すること。
• ℚ上では、像が自由多項式環であり、その次数付き部成分の次元がフィボナッチ数に等しいことを示すこと。
• 多面体の環が、posetのロータ＝ホプフ代数上にホップコモジュール構造を備えていることを示すこと。
• 与えられた擬対称多項式が整数係数の多面体の組み合わせの像であるための条件を特定し、g定理およびフラグfベクトルと関連付けること。

提案手法

• 組合せ的凸多面体の環𝒫と、n次元多面体をその(n−k)次元の面の和へ写像する作用素dₖのなす代数𝒟を定義する。
• 𝒟が反作用素χ(dₖ) = (−1)ᵏdₖを備えた普遍的リーブニッツ＝ホプフ代数と同型であり、𝒫上でミルナー加群として作用することを示す。
• α-特徴の合成と𝒟の双対への埋め込みを経由して、一般化されたf多項式f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α]を構成する。
• fが環準同型であり、その核が同じフラグfベクトルを持つ多面体からなることを証明する。
• コーン作用素Cとバイピラミッド作用素Bの作用を、擬対称関数環へと持ち上げ、f準同型を保つようにする。
• 一般化されたデーン＝ゾンマーヴィル関係式と同等の関数方程式を確立し、f(𝒫 ⊗ ℚ)の構造を自由多項式代数として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数上での一般化されたf多項式準同型f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α]の像の構造はいかなるものか？
• RQ2 多面体の環は、擬対称関数の代数および普遍的リーブニッツ＝ホプフ代数とどのように関係しているか？
• RQ3 f(𝒫 ⊗ ℚ)の次数付き部成分は、フィボナッチ数列のような既知の数列で記述可能か？
• RQ4 与えられた擬対称多項式が整数係数の多面体の組み合わせの像であるための条件は何か？
• RQ5 posetのロータ＝ホプフ代数上における多面体の環のホップコモジュール構造は、フラグfベクトルおよびg定理とどのように関係しているか？

主な発見

• 一般化されたf多項式準同型f: 𝒫 → Qsym[t₁,t₂,…][α]の像は、ℤ[α]上の擬対称関数の環に同型であり、核は同じフラグfベクトルを持つ多面体からなる。
• 有理数上では、像f(𝒫 ⊗ ℚ)は自由多項式環であり、そのn次の部成分の次元はn番目のフィボナッチ数cₙ（c₀ = c₁ = 1, cₙ₊₁ = cₙ + cₙ₋₁）に等しい。
• これにより、フィボナッチ数列の母関数の無限積表示が得られる：1/(1−t−t²) = ∏ᵢ₌₁^∞ 1/(1−tⁱ)ᵏⁱ、ここでkᵢは次数iの生成子の数である。
• 無限積は|t| < (√5−1)/2で絶対収束し、指数kᵢはkₙ₊₁ ≥ kₙ ≥ Nₙ−2を満たす。ここでNₙはnの整数分割の数である。
• ベイリーアンドビラの導入した多面体環BBは、f準同型のもとでf(𝒫)と同型となり、その代数的構造を引き継ぐ。
• 多面体の環は、posetのロータ＝ホプフ代数上に自然なホップコモジュール構造を備え、F(lₐ(P)) = f(P)*が成り立つような環準同型lₐ: 𝒫 → ℛ[α]が構成される。ここでFはエーレンボーグの擬対称関数である。