[論文レビュー] Rings of definition of smooth and proper dg-algebras

B. Toen|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可換環のフィルタ付き帰納極限上の滑らかで固有なdg代数のホモトピー理論が、各成分環上のホモトピー理論の帰納極限に同値であることを確立する。主な結果は、任意の可換環 $k$ 上の滑らかで固有なdg代数が、有限型の $ olimits\mathbb{Z}$-代数上に定義可能であることを示しており、Kaledinの予想を裏付けるものであり、特に関数体の特徴の技術を導来代数幾何に応用可能にする。

ABSTRACT

This is a companion paper to math.AT/0609762. For a filtered colimit of commutative rings k=colim k_i, we prove that the homotopy theory of smooth and proper dg-algebras over k is the colimit of the homotopy theories of smooth and proper dg-algebras over k_i. As a consequence, we deduce that any smooth and proper dg-algebra can be defined over a commutative Z-algebra of finite type.

研究の動機と目的

• 可換環のフィルタ付き帰納極限上の滑らかで固有なdg代数の有限性を確立すること。
• Conjecture [Ka, 5.3] におけるこのようなdg代数の有限定義可能性を解決すること。
• 滑らかで固有なdg代数のホモトピー理論が、基底環のフィルタ付き帰納極限と可換することを示すこと。
• 局所的有限表示性の証明により、滑らかで固有なdg代数のモジュライスタックの幾何的性を裏づけること。
• 正標数への還元を用いたホッジ・ド・ラーム退化の研究のための基盤的道具を整えること。

提案手法

• 基底環として可換環のフィルタ付き帰納極限 $k = \mathrm{colim}_i k_i$ を用いる。
• 既知のホモトピカルに有限生成なdg代数に関する結果と、滑らかさ・固有性との関係を活用する。
• dg代数の間の関係を確立するために、導来基底変換関手 $- \otimes_k^\mathbb{L} k'$ を適用する。
• $k$-代数上の完全複体および完全加群が、導来基底変換を介してフィルタ付き帰納極限に沿って持ち上がることを活用する。
• ホモトピー圏 $Ho(k\text{-}dg\text{-}alg)$ のカローブ環の性質を用いて、イデムポテンスの持ち上げを扱う。
• 基底変換における完全加群の導来圏の同値性を用いて、本質的全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可換環 $k$ 上の滑らかで固有なdg代数は、有限生成の $ olimits\mathbb{Z}$-代数上に定義可能か？
• RQ2 滑らかで固有なdg代数のホモトピー理論は、基底環のフィルタ付き帰納極限と可換か？
• RQ3 滑らかで固有なdg代数のモジュライスタックは局所的に有限表示か？
• RQ4 滑らかで固有なdg代数上の完全加群の導来圏は、有限生成基底から持ち上げ可能か？
• RQ5 フィルタ付き帰納極限に沿った基底変換関手は、滑らかで固有性の性質を保存するか？

主な発見

• 基底が $k = \mathrm{colim}_i k_i$ である滑らかで固有なdg代数のホモトピー理論は、各 $k_i$ 上のホモトピー理論の帰納極限に同値である。
• 任意の可換環 $k$ 上の滑らかで固有なdg代数は、$ olimits\mathbb{Z}$-代数の有限型上に定義可能である。
• 基底変換関手 $- \otimes_{k_i}^\mathbb{L} k$ は、滑らかで固有なdg代数のホモトピー圏に同値を誘導する。
• $k$-dg代数上の完全加群は、導来基底変換を介してフィルタ付き帰納極限に沿って持ち上がる。
• 基底が $k$ である滑らかで固有なdg代数上の完全加群の導来圏は、各 $k_i$ 上の同様の圏の帰納極限に同値である。
• 滑らかで固有なdg代数のモジュライスタックは局所的に有限表示であり、その幾何的性を裏づける。