[論文レビュー] Rips complexes and covers in the uniform category

N. Brodskiy, Jerzy Dydak+2 more|ArXiv.org|Jun 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Rips複体と鎖の上り上げ性質を用いて、一様被覆写像を再定義し、一般化された一様パスと一様結合可能性という基礎的概念を導入する。一様に結合可能な空間—度合いが1の可動性を満たす点付きコンパクトな多様体に等しい—は、古典的位相におけるものと類似した良好な性質を有する普遍被覆理論を備えていることが示され、プロ離散的作用に基づく従来の手法に見られる制限を解消する。

ABSTRACT

James \cite{Jam} introduced uniform covering maps as an analog of covering maps in the topological category. Subsequently Berestovskii and Plaut \cite{BP3} introduced a theory of covers for uniform spaces generalizing their results for topological groups \cite{BP1}-\cite{BP2}. Their main concepts are discrete actions and pro-discrete actions, respectively. In case of pro-discrete actions Berestovskii and Plaut provided an analog of the universal covering space and their theory works well for the so-called coverable spaces. As will be seen in Section ef{SECTION-Comparison}, \cite{BP3} generalizes only regular covering maps in topology and pro-discrete actions may not be preserved by compositions. In this paper we redefine the uniform covering maps and we generalize pro-discrete actions using Rips complexes and the chain lifting property. We expand the concept of generalized paths of Krasinkiewicz and Minc \cite{KraMin}.

研究の動機と目的

• 一様被覆の理論におけるBerestovskii-Plautの理論の限界を克服すること。この理論は合成を保存せず、正則被覆にしか一般化できない。
• 局所構造が複雑な空間（例えば、トポロジストの正弦曲線など）に対しても、古典的普遍被覆空間構成を拡張する一様被覆理論を構築すること。
• 一般化された被覆写像の構成が安定に機能する新しい空間クラス—一様に結合可能な空間—を導入すること。
• Rips複体と一般化された一様パスを用いた枠組みを提供し、上り上げ関数が一様な準同型であることを保証すること。
• 距離空間のコンパクトな多様体において、一様結合可能性が点付き1可動性と一致することを示すこと。これは、連続写像に関して閉じており、平面の部分多様体を含む well-understood な形状理論的クラスである。

提案手法

• Rips複体を用いて、一般化された一様パスの空間を構成し、古典的普遍被覆上の基本位相を一般化する自然な一様構造を備える。
• 鎖の上り上げ性質と、鎖および一般化されたパスの両方に対する上り上げの近似的一意性を用いて、一般化された一様被覆写像を定義する。
• 終点写像が一般化された一様被覆写像であるという条件として、一様結合可能性の概念を導入する。
• 理論を距離空間のコンパクトな多様体に適用し、一様結合可能性が点付き1可動性と同値であることを示す。このクラスは連続写像に関して閉じており、平面の部分多様体を含む。
• 新しい枠組みをBerestovskii-Plautの理論と比較し、プロ離散的作用が合成に関して保存されないのに対し、新しいアプローチでは保存されることを示す。
• 形状理論的道具と良い局所性を持つ空間への埋め込みを用いて一般化されたパスを定義し、埋め込み間で一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス接続性や局所パス接続性を満たさない空間に対しても、古典的普遍被覆空間構成を一般化する一様被覆理論を構築できるか？
• RQ2 なぜBerestovskii-Plautの理論は一様被覆の合成を保存しないのか。この問題はどのように是正できるか？
• RQ3 一般化された普遍被覆写像が存在し、古典的位相と類似した上り上げ性質を有する自然な一様空間のクラスは何か？
• RQ4 距離空間のコンパクトな多様体において、一様結合可能性は形状理論的概念（点付き1可動性）とどのように関係するか？
• RQ5 一般化されたパスの空間に、古典的普遍被覆上の基本位相を一般化する一様構造が存在するか？

主な発見

• 一様に結合可能な空間のクラスは、トポロジストの正弦曲線のような複雑な局所構造を有する一様空間に対しても、古典的普遍被覆空間構成を一般化する。
• 距離空間のコンパクトな多様体において、一様結合可能性は点付き1可動性と一致する。これは、ハワイアンイヤリングやカントール集合のサスペンションを含むwell-understood な形状理論的クラスである。
• 一般化された一様パスの空間からXへの終点写像が一般化された一様被覆写像であることは、Xが一様に結合可能であることの必要十分条件である。
• Berestovskii-Plautのアプローチとは異なり、群作用に依存しない理論であり、上り上げ関数が一様な準同型であることを保証する。
• 合成がプロ離散的でない例を構成し、離散的被覆に対しても、プロ離散的被覆の合成が一般にはプロ離散的でないことが示され、先行研究における重要な仮定が誤りであることが判明する。
• 論文は[29]の証明における誤りを特定し、Berestovskii-Plautの構成において、エントゥラージが基底をなす場合でも、普遍被覆からの射影が全射でない可能性があることを示している。