[論文レビュー] Risk quantification for the thresholding rule for multiple testing using Gaussian scale mixtures

Jean-Bernard Salomond|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ガウススケール混合事前分布の下で、しきい値ルールを用いた多重仮説検定における漸近的リスクバウンドを確立し、連続的事前分布がスパイクアンドスラブモデルと同等のミニマックス最適性を達成できることを示している。事前分布にややいなごろしの正則性条件が課されれば、ベイズ的および頻度的リスクがきびしく制御され、信号が十分に大きい場合にはミニマックスリスクが漸近的にゼロに収束することが証明されている。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic properties of Bayesian multiple testing procedures for a large class of Gaussian scale mixture pri- ors. We study two types of multiple testing risks: a Bayesian risk proposed in Bogdan et al. (2011) where the data are assume to come from a mixture of normal, and a frequentist risk similar to the one proposed by Arias-Castro and Chen (2017). Following the work of van der Pas et al. (2016), we give general conditions on the prior such that both risks can be bounded. For the Bayesian risk, the bound is almost sharp. This result show that under these conditions, the considered class of continuous prior can be competitive with the usual two-group model (e.g. spike and slab priors). We also show that if the non-zeros component of the parameter are large enough, the minimax risk can be made asymptotically null. The separation rates obtained are consistent with the one that could be guessed from the existing literature (see van der Pas et al., 2017b). For both problems, we then give conditions under which an adaptive version of the result can be obtained.

研究の動機と目的

• 広範なガウススケール混合事前分布の下で、多重仮説検定手順の漸近的挙動を研究すること。
• 高次元スパース正規平均問題におけるしきい値ルールのベイズ的および頻度的リスクを定量的に評価すること。
• 1群事前分布に基づくしきい値ルールのリスクがミニマックスリスクに近づくための条件を確立すること。
• 真のスパarsityレベル $p_n$ の知識を必要としない適応的バージョンの結果を導出すること。
• スパイクアンドスラブ事前分布とは異なり、正確なゼロ点質量を含まない場合でも、提案手法がほぼ最適な性能を達成できることを示すこと。

提案手法

• 各パラメータ $\theta_i$ がランダムな分散 $\sigma_i^2$ を持つガウススケール混合事前分布フレームワークを用い、$\sigma_i^2$ は混合分布 $\pi$ から抽出される。
• 事後縮小係数 $\kappa_i = \sigma_i^2 / (1 + \sigma_i^2)$ に基づくしきい値ルールを適用し、$\mathbb{E}[\kappa_i | X_i] \geq 1/2$ であれば $\xi_i = 1$ と設定する。
• $X_i$ を条件とする $\theta_i$ および $\sigma_i^2$ の事後分布を導出し、縮小および仮説検定の意思決定を可能にする。
• 誤検出および見逃し確率を制御するために、集中不等式および尾確率バウンドを用いる。
• 2段階アプローチを採用：まず $p_n$ を固定した場合のリスクバウンドを導出し、次にデータ駆動的 $\hat{p}_n$ を用いてスパarsityが未知の場合に適応する。
• 大きな信号を検出可能にし、小さな信号を縮小するための十分な尾の厚さを持つように、混合測度 $\pi$ に条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 事前分布 $\pi$ にどのような条件下で、ガウススケール混合分布に基づくしきい値ルールが多重仮説検定においてミニマックスリスクを達成するか？
• RQ2 このようなしきい値ルールのベイズ的および頻度的リスクは、理論的ミニマックスリスクとどのように比較されるか？
• RQ3 真のスパarsityレベル $p_n$ の知識がなくとも、最適リスクを達成できる適応的手続きを構築できるか？
• RQ4 連続的一群事前分布（例：ホースシュー分布）は、スパイクアンドスラブ事前分布の性能をどの程度模倣できるか？
• RQ5 これらの事前分布の下で、ミニマックスリスクが漸近的にゼロになる分離レートは何か？

主な発見

• ややいなごろしの事前分布条件の下で、しきい値ルールのベイズ的リスクはバウンドされ、ほぼ鋭いものであることが示され、強い理論的根拠が得られた。
• 同じ条件下で頻度的リスクもバウンドされ、既存の文献で知られているミニマックスレートと一致する。
• 非ゼロ信号が十分に大きい場合には、ミニマックスリスクを漸近的にゼロにできることが示され、一貫した検出が可能であることが示された。
• 検出の分離レートは、van der Pas ら（2017b）の結果と一致しており、一貫性を示している。
• $p_n$ の知識を必要とせず、データ駆動的推定値 $\hat{p}_n$ を用いることで、同じリスクバウンドが達成可能な適応的手続きが構築された。
• 誤検出および見逃し確率は、事後縮小係数の尾確率バウンドを用いて制御されており、$p_n/n$ および信号強度に明示的な依存関係がある。