[論文レビュー] Risk-sensitive performance criteria and robustness of quantum systems with a relative entropy description of state uncertainty

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、系-環境状態のずれを相対エントロピーで記述することで、元の量子リスクセンシティブコスト関数を二次指数関数的関数形（QEF）に結びつけることにより、量子リスクセンシティブ制御と状態不確実性に対するロバスト性の間の接続を確立する。QEFのための積分微分方程式を導出し、QEFの最小化が不確実性下でのリスクセンシティブコストの最小化に対応することを示し、リスクセンシティブパラメータが量子相対エントロピーを介してロバスト性を支配することを明らかにした。これにより、ロバスト量子制御のための原理的枠組みが提供される。

ABSTRACT

This paper considers links between the original risk-sensitive performance criterion for quantum control systems and its recent quadratic-exponential counterpart. We discuss a connection between the minimization of these cost functionals and robustness with respect to uncertainty in system-environment quantum states whose deviation from a nominal state is described in terms of the quantum relative entropy. These relations are similar to those in minimax LQG control for classical systems. The results of the paper can be of use in providing a rational choice of the risk-sensitivity parameter in the context of robust quantum control with entropy theoretic quantification of statistical uncertainty in the system-field state.

研究の動機と目的

• オープン量子調和振動子（OQHOs）における量子リスクセンシティブ性能基準と状態不確実性に対するロバスト性との間の理論的接続を確立すること。
• 元の量子リスクセンシティブコストと二次指数関数的関数形（QEF）との関係を分析し、特定の条件下でそれらが同等であることを示すこと。
• QEFの最小化が、量子相対エントロピーを用いた不確実性に対するロバスト性を定量化するリスクセンシティブパラメータによって支配されるリスクセンシティブコストの最小化に対応することを示すこと。
• エントロピーに基づく不確実性評価を用いて、ロバスト量子制御におけるリスクセンシティブパラメータの合理的な選定のための基盤を提供すること。

提案手法

• 系変数の二乗形式の積分を指数関数化した時間依存密度演算子変換を用いて、QEFのための積分微分方程式を導出する。
• 系変数の二乗形式の積分の指数関数の平方根に基づくユニタリ変換を用いた修正された量子期待値演算子を導入する。
• 系変数の二点非可換関係（CCR行列）を用いて、QEFの時間発展を過去の系の軌道の関数として表現する。
• ユニタリ性と両関数形の同等性を保証する時間依存演算子 $ V_{ heta}(t) $ を導入することで、元のリスクセンシティブコストとQEFとの間の接続を確立する。
• 量子イト微積分法とCCRを満たす二次演算子のリー代数構造を用いて、QEFの発展方程式を導出する。
• QEFの発展が、過去の系変数と二点CCR行列を含む時間依存自己随伴演算子の修正期待値によって支配されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オープン量子調和振動子の文脈において、元の量子リスクセンシティブコスト関数と二次指数関数的関数形（QEF）とはどのように関係しているか？
• RQ2 QEFの最小化は、量子相対エントロピーで測定される系-環境状態のずれに対して、ロバスト性基準として解釈可能か？
• RQ3 リスクセンシティブパラメータは、量子系における状態不確実性に対するロバスト性をどのように支配するか？
• RQ4 元のリスクセンシティブコスト関数がQEFを再現する条件は何か？また、関与するユニタリ変換の意義は何か？
• RQ5 二点非可換関係行列 $ \Lambda(\tau) $ はQEFとリスクセンシティブコストのダイナミクスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• QEFは、系の過去の軌道と二点CCR行列に依存する時間依存自己随伴演算子 $ \Psi_{\theta}(t) $ の修正量子期待値を含む積分微分方程式を満たす。
• QEFの発展は $ (\ln \Xi_{\theta}(t))^{\cdot} = \theta \, \mathbf{E}_{\theta,t} \Psi_{\theta}(t) $ によって支配され、ここで $ \mathbf{E}_{\theta,t} $ は密度演算子 $ \rho_{\theta,t} $ に基づく変換された期待値を表す。
• 駆動過程 $ C(t) $ が時間依存演算子 $ V_{\theta}(t) $ を介して $ \Psi_{\theta}(t) $ と関連付けられ、$ V_{\theta}(t) $ がユニタリ性を保つ場合、元のリスクセンシティブコスト関数 $ E_{\theta}(t) $ はQEF $ \Xi_{\theta}(t) $ を再現することが示された。
• 演算子 $ \Psi_{\theta}(t) $ は一般に半正定値でないため、量子変数の非可換性と高次モーメントの複雑さが反映されている。
• リスクセンシティブパラメータ $ \theta $ は系変数に対する指数的ペナルティを支配し、量子相対エントロピーを用いた不確実性の定量的評価を通じてロバスト性を支配する。
• 本研究の結果は、リスクセンシティブ制御と状態不確実性に対するロバスト性との間の形式的同等性を確立し、エントロピーに基づく不確実性境界を用いて $ \theta $ の選定の理論的根拠を提供する。