[論文レビュー] Robust a Posteriori Error Estimates for HDG method for Convection-Diffusion Equations

Huangxin Chen, Jingzhi Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、拡散係数ε → 0の際に支配的になる対流項を伴う対流拡散方程式にハイブリッド不連続ガレルキン（HDG）法を適用した場合の、頑健なa posteriori誤差推定器を提示する。重み付き試験関数法とオズボルド補間を用いることで、ε → 0の極限においてもエネルギーノルムで一様に有界となるように、推定器の信頼性と有効性を保証し、すべての対流優勢な状態で頑健性を達成する。

ABSTRACT

We propose a robust a posteriori error estimator for the hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for convection-diffusion equations with dominant convection. The reliability and efficiency of the estimator are established for the error measured in an energy norm. The energy norm is uniformly bounded even when the diffusion coefficient tends to zero. The estimators are robust in the sense that the upper and lower bounds of error are uniformly bounded with respect to the diffusion coefficient. A weighted test function technique and the Oswald interpolation are key ingredients in the analysis. Numerical results verify the robustness of the proposed a posteriori error estimator. In numerical experiments, optimal convergence is observed.

研究の動機と目的

• 対流が支配的となる対流拡散方程式におけるHDG法の信頼性と有効性を保証するa posteriori誤差推定器を開発すること。
• 標準的手法が失敗するような、拡散係数εが0に近づく状態でも、誤差推定器が頑健に保たれることを保証すること。
• εに依存しない一様な境界を保つエネルギーノルムにおける境界を確立し、効果的な適応型メッシュ・エンリッチメントを可能にすること。
• 従来の推定器が双対ノルムに依存するか、一次元に限定された仮定に依存するという限界を克服すること。

提案手法

• 対流優勢な領域を扱い、誤差推定を安定化させるために重み付き試験関数法を採用する。
• 離散解の適切な補間を構築するためにオズボルド補間を用い、エネルギーノルムにおける誤差を制御可能にする。
• HDGの変分式における残差項と整合性項の解析により、誤差推定器を導出する。
• 適切に選んだパラメータを用いてコーシー・シュワルツとヤングの不等式を適用し、信頼性と有効性を証明する。
• エネルギーノルムには勾配項と対流項を組み込み、ε → 0の極限においても一様に有界であることを保証する。
• 仮定(A1)–(A4)に依存する分析であり、∇ψ·β ≥ b₀ > 0を満たす関数ψの存在を含む。これにより問題の適切な定式化が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ε → 0の極限において、HDG法を用いた対流拡散問題に頑健なa posteriori誤差推定器を構築できるか？
• RQ2 誤差推定器がε → 0の極限においても一様に有界なエネルギーノルムで信頼性と有効性を保つことができるか？
• RQ3 双対ノルムに依存せず、一次元性のような制限的仮定に依存しない形で推定器を導出できるか？
• RQ4 異なる多項式次数と小さなε値に対して、誤差指標は実際にはどのように振る舞うか？
• RQ5 適応型メッシュ・エンリッチメントにおいて、対流優勢な問題に対して最適収束率を達成できるか？

主な発見

• 提案されたa posteriori誤差推定器は、ε → 0の極限においてもエネルギーノルムで一様に有界な信頼性と有効性を備えている。
• ε = 10⁻⁴, 10⁻⁵, 10⁻⁶の場合、メッシュが十分に細かくなると、p = 1, 2, 3の各場合で総誤差推定器の収束率がO(N⁻ᵖ/²)となる。
• ε = 10⁻⁶の場合、総推定器の収束率はO(N⁻¹)に近づき、最も対流優勢な状態でも頑健な性能を示している。
• 推定器の個々の成分η₁とη₂は同様に収束し、分解戦略の妥当性が裏付けられた。
• 数値結果により、境界層が形成されても推定器がすべてのテストされたε値に対して頑健に保たれることを確認した。
• 解析により、誤差境界がεに依存しないことが示され、対流優勢極限における推定器の頑健性が確認された。