[論文レビュー] Robust A Posteriori Error Estimates for Stabilized Finite Element Methods

Lutz Tobiska, R. Verfürth|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、対流拡散方程式に適用される広範な安定化有限要素法のクラスに対して、ロバストな事後誤差推定を確立する。ストリームライン拡散、ローカル射影、スモールスケール、連続内部ペナルティ法が、粘性係数、対流項、反応項に依存しない定数を伴って同一の誤差指標をもたらすことを示しており、すべてのスケームにおいて一様な信頼性と有効性を保証する。

ABSTRACT

There is a wide range of stabilized finite element methods for stationary and non-stationary convection-diffusion equations such as streamline diffusion methods, local projection schemes, subgrid-scale techniques, and continuous interior penalty methods to name only a few. We show that all these schemes give rise to the same robust a posteriori error estimates, i.e. the multiplicative constants in the upper and lower bounds for the error are independent of the size of the convection or reaction relative to the diffusion. Thus, the same error indicator can be used modulo higher order terms caused by data approximation.

研究の動機と目的

• 対流拡散問題における複数の安定化有限要素法の事後誤差推定を統一すること。
• 異なる安定化スケームから導かれる誤差指標が同等のロバストな誤差境界を持つことを証明すること。
• 粘性係数 ε および反応パラメータ β に依存しない一様な誤差推定を保証すること、特に対流優勢な領域でも有効であること。
• 対流項や反応項の相対的大きさに依存しない、計算可能な上界および下界を残差に対して導出すること。
• 残留誤差と整合性誤差の制御に基づく共通の枠組みを用いて、定常および非定常問題の両方への解析を拡張すること。

提案手法

• 一般枠組み [39] を用いて、誤差と残留誤差の間の汎用的かつロバストな同等性を確立する。
• 補題 2.3–2.6 を用いて、各安定化スケームにおける整合性誤差の明示的かつ計算可能な上界を導出する。
• 対称部分の双線形形式に適合したエネルギーノルムおよび双対ノルムを用いて、ロバスト性を保証する。
• ストリームライン拡散、ローカル射影、スモールスケール、連続内部ペナルティ法など、異なるスケームに対応する局所的寄与項 η, θ, Θ を持つ残留誤差推定器を適用し、連続内部ペナルティ法にはパラメータ σ_cip を導入する。
• 時間離散化を用いた非定常問題に対して、時間平均データと離散時間ステップを用いた時間的誤差推定器を導入する。
• 空間および時間の両方における誤差のグローバル上界および局所的下界を確立し、その定数が ε や β に依存しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の安定化有限要素法に共通して適用可能なロバストな事後誤差推定器を、対流拡散問題に適用可能か？
• RQ2 異なる安定化スケームから導かれる誤差推定は、対流項や反応項の相対的大きさにかかわらず、一様に信頼性と有効性を持つのか？
• RQ3 各安定化法が導入する整合性誤差は、メッシュパラメータの観点から一様かつ明示的に上界で抑えられるか？
• RQ4 同一のロバスト性を有する誤差指標が、定常および非定常対流拡散方程式の両方へ適用可能か？
• RQ5 すべての安定化スケームにおいて、粘性係数 ε および反応パラメータ β に依存しない、残留誤差推定器をロバストに保てるか？

主な発見

• 検討されたすべての安定化有限要素法—ストリームライン拡散、ローカル射影、スモールスケール、連続内部ペナルティ法—は、同一のロバストな事後誤差推定をもたらす。
• 誤差の上界および下界は ε および β に関して一様である。つまり、境界に含まれる定数は対流項や反応項の強さに依存しない。
• 定常系では、残留ノルムが誤差推定子 η, θ, Θ によって上界および下界で抑えられ、定数 c♭ および c♭ は ε や β に依存しない。
• 非定常系では、グローバル誤差が時間ステップごとの推定子の和によって上界で抑えられ、定数 c* および c* は T, ε, β に依存しない。
• 時間離散誤差推定子には初期データ、時間発展、データ近似の寄与が含まれており、すべて一様に抑えられている。
• 連続内部ペナルティ法ではパラメータ σ_cip = 1 であり、他のスケームでは 0 である。これは、スケーム固有の整合性誤差寄与を反映している。