[論文レビュー] Robust Algorithms for the Secretary Problem

Domagoj Bradač, Anupam Gupta+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2019

Optimization and Search Problems参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、敵対的 'レッド' 要素がランダム到着順序を損なうが、'グリーン' 要素は依然として一様にランダムに到着する、古典的セクレタリー問題のロバストな変種、すなわちByzantineセクレタリー問題を導入する。著者らは、最大のグリーン要素の値を差し引いたベンチマークに対して近似的に最適な性能を達成するアルゴリズムを提示し、単一アイテムおよびナップサック設定の両方において敵対的外れ値に対して耐性を持つことを示す。

ABSTRACT

In classical secretary problems, a sequence of $n$ elements arrive in a uniformly random order, and we want to choose a single item, or a set of size $K$. The random order model allows us to escape from the strong lower bounds for the adversarial order setting, and excellent algorithms are known in this setting. However, one worrying aspect of these results is that the algorithms overfit to the model: they are not very robust. Indeed, if a few "outlier" arrivals are adversarially placed in the arrival sequence, the algorithms perform poorly. E.g., Dynkin's popular $1/e$-secretary algorithm fails with even a single adversarial arrival. We investigate a robust version of the secretary problem. In the Byzantine Secretary model, we have two kinds of elements: green (good) and red (rogue). The values of all elements are chosen by the adversary. The green elements arrive at times uniformly randomly drawn from $[0,1]$. The red elements, however, arrive at adversarially chosen times. Naturally, the algorithm does not see these colors: how well can it solve secretary problems? We give algorithms which get value comparable to the value of the optimal green set minus the largest green item. Specifically, we give an algorithm to pick $K$ elements that gets within $(1-\varepsilon)$ factor of the above benchmark, as long as $K \geq \mathrm{poly}(\varepsilon^{-1} \log n)$. We extend this to the knapsack secretary problem, for large knapsack size $K$. For the single-item case, an analogous benchmark is the value of the second-largest green item. For value-maximization, we give a $\mathrm{poly} \log^* n$-competitive algorithm, using a multi-layered bucketing scheme that adaptively refines our estimates of second-max over time. For probability-maximization, we show the existence of a good randomized algorithm, using the minimax principle.

研究の動機と目的

• ランダム順序モデルにおける敵対的摂動に対する古典的セクレタリー・アルゴリズムの脆弱性に対処すること。
• 定数割合の到着が敵対的に配置される（レッド・アイテム）状況でも効果を保つアルゴリズムを設計すること（残りのアイテムはグリーンとして一様にランダムに到着）。
• 最大のグリーンアイテムの値を差し引いた性能ベンチマークを確立し、逐次意思決定におけるレジーム・ミニマライゼーションと公平性を反映すること。
• ナップサックセクレタリー問題へのロバスト性を拡張し、価値最大化および確率最大化の両目的をカバーすること。
• ミニマックス原理と離散化技術を用いて、競合アルゴリズムの存在を示すこと。

提案手法

• グリーン（ランダムに到着）とレッド（敵対的に到着）の2種類の要素を持つByzantineセクレタリー・モデルを提唱。両者とも値は敵対的選択によって決定される。
• アルゴリズムの成果を、最適なグリーン集合からその最大要素を差し引いたものと比較する性能ベンチマークを導入。これにより外れ値に対する耐性が確保される。
• 単一アイテム設定における第二位のグリーン値の推定に、マルチレイヤード・バケッティング方式を用い、poly(log* n)-競合性を達成。
• 連続時間区間[0,1]をN = n³個の点に離散化することで、可能な履歴とアルゴリズムの集合を有限にし、フォン・ノイマンのミニマックス定理の適用を可能にする。
• ミニマックス原理を用いて、明示的な構成がなくても確率最大化のための良い確率的アルゴリズムの存在を証明。
• ナップサックセクレタリー問題にこの枠組みを拡張。大きなナップサックサイズK ≥ poly(ε⁻¹ log n)に対して、ベンチマークに対する(1−ε)-近似を達成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数割合の到着が敵対的に配置される状況でも、ランダム順序仮定が損なわれても、競合性を保つセクレタリー・アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 敵対的外れ値が存在する状況における意味のあるロバストなベンチマークとは何か？ そして、これに対して近似的に最適な性能を達成できるか？
• RQ3 単一アイテムおよびナップサックセクレタリー問題において、最適なグリーン集合から最大要素を差し引いたものに対する(1−ε)-近似を達成できるか？
• RQ4 価値最大化のための単一アイテムByzantineセクレタリー問題において、poly(log* n)-競合性を持つアルゴリズムが存在するか？
• RQ5 ゲーム理論的原則を用いて、確率最大化のための良い確率的アルゴリズムの存在を証明できるか？

主な発見

• 小さな割合のレッド・アイテムが存在する場合ですら、最大値のレッド集合を選択するか、または単一の最大グリーン要素を選択することは、不可能であることが示された。
• 単一アイテム設定では、第二位のグリーン値を推定するためのマルチレイヤード・バケッティング方式を用いて、価値最大化のためのpoly(log* n)-競合性を持つアルゴリズムが開発された。
• 大きなK ≥ poly(ε⁻¹ log n)のナップサックセクレタリー問題において、最適なグリーン集合から最大要素を差し引いたベンチマークに対する(1−ε)-近似が達成された。
• 明示的な構成がなくても、ミニマックス原理を用いて確率最大化のための良い確率的アルゴリズムの存在が証明された。
• 時間区間[0,1]をn³個の点に離散化することで、無限のアルゴリズムと入力の空間を有限に縮小し、フォン・ノイマンのミニマックス定理の適用が可能になった。