[論文レビュー] Robust analytic continuation of Green's functions via projection, pole estimation, and semidefinite relaxation

Zhen Huang, Emanuel Gull+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2022

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ひとこと要約

本稿では、量子多体系におけるグリーン関数のロバストな解析的続行のための、投影-推定-半定値緩和（PES）手法を提案する。ノイズを含むマツバラデータを因果的空間に射影し、AAAアルゴリズムを用いて極の位置を推定し、半定値緩和フィッティングを施すことにより、二重精度演算のみを用いても、フェルミオン系およびボソン系において鋭い特徴を有するスペクトル関数を正確に再構成可能となる。

ABSTRACT

Green's functions of fermions are described by matrix-valued Herglotz-Nevanlinna functions. Since analytic continuation is fundamentally an ill-posed problem, the causal space described by the matrix-valued Herglotz-Nevanlinna structure can be instrumental in improving the accuracy and in enhancing the robustness with respect to noise. We demonstrate a three-pronged procedure for robust analytic continuation called PES: (1) Projection of data to the causal space. (2) Estimation of pole locations. (3) Semidefinite relaxation within the causal space. We compare the performance of PES with the recently developed Nevanlinna and Carathéodory continuation methods and find that PES is more robust in the presence of noise and does not require the usage of extended precision arithmetics. We also demonstrate that a causal projection improves the performance of the Nevanlinna and Carathéodory methods. The PES method is generalized to bosonic response functions, for which the Nevanlinna and Carathéodory continuation methods have not yet been developed. It is particularly useful for studying spectra with sharp features, as they occur in the study of molecules and band structures in solids.

研究の動機と目的

• 量子多体系における解析的続行の根本的な不適切性に取り組み、特にノイズを含むマツバラデータに対して対処する。
• MaxEnt、パデ近似、ネヴァンリンナ／カラテオドリ手法などの既存手法の限界を克服する。これらはノイズに弱く、因果性の違反を引き起こすか、拡張精度算術を必要とする。
• 行列値ハーグロッツ＝ネヴァンリンナ構造を介して因果性を保ちつつ、ノイズに強く、対角および非対角グリーン関数要素の両方に適用可能な手法を開発する。
• ネヴァンリンナおよびカラテオドリ手法がまだ一般化されていないボソン応答関数への因果的解析的続行の適用範囲を拡大する。
• 分子および固体におけるバンド構造や鋭いピークといったスペクトル特徴を、ノイズを含む有限温度データから高精度で回復可能にする。

提案手法

• ハーグロッツ＝ネヴァンリンナ構造を強制する射影演算子を用いて、ノイズを含むマツバラデータを因果的空間に射影し、物理的整合性を保証する。
• 射影されたデータに適応的アントゥラス＝アンドリュース（AAA）アルゴリズムを適用し、複素平面における極の位置を推定することで、スペクトル特徴のロバストな初期推定値を提供する。
• 二段階最適化フレームワークを用いた半定値緩和（SDR）フィッティングにより、因果的空間内でのグリーン関数の再構成を実行し、データ誤差を最小化するとともに解析的構造を維持する。
• 行列値ハーグロッツ＝ネヴァンリンナ表現を用いてグリーン関数をパラメータライズすることで、因果性およびスペクトル関数の半正定値性を保証する。
• ボソン系への応用を可能にするために、因果的空間の定義を変更し、上半平面に極を許容するように一般化することで、フェルミオン系に限らない適用を実現する。
• モジュラーに実装することで、各ステップ（射影、極推定、SDR）を独立して利用可能とし、他の解析的続行手法のロバスト性を向上可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 投影、極推定、半定値緩和の三段階手順が、拡張精度算術を必要とせず、ノイズを含むマツバラグリーン関数のロバストな解析的続行を達成できるか。
• RQ2 因果的射影は、ノイズ下でもネヴァンリンナおよびカラテオドリ続行法の安定性と精度をどの程度向上させるか。
• RQ3 PESフレームワークは、まだ開発が進んでいないボソン応答関数に一般化可能か。
• RQ4 PESは、シリコンやAgIのような実際の物質において、バンドギャップやヴァン・ホーフィング特異点といった鋭いスペクトル特徴を、さまざまなノイズレベル下でもどの程度正確に回復できるか。
• RQ5 MaxEntおよびパデ法と比較して、PESは複数の特徴および高周波成分を有するスペクトル関数をどの程度良好に再構成できるか。

主な発見

• PES手法は、128ビット以上の精度を必要とするネヴァンリンナおよびカラテオドリ手法とは異なり、二重精度演算のみを用いても、ノイズを含むマツバラデータの解析的続行を成功裏に実行した。
• σ = 10⁻²という高いノイズレベル下でも、シリコンおよびAgIのバンド構造とバンドギャップを正確に回復した。これは、著しいノイズ下でもロバストであることを示している。
• 因果的射影のみで、ネヴァンリンナおよびカラテオドリ法の性能が顕著に向上し、ノイズ下でも非因果的結果（負のスペクトル関数成分）が著しく減少した。
• PES手法は、分子系や固体状態バンド構造に特徴的な鋭いスペクトル特徴（例：複数ピーク）を、MaxEntおよびパデ法よりも正確に再構成できた。
• 本手法はフェルミオン系およびボソン系の両方に適用可能であり、ボソン応答関数のための因果的空間定式化を上半平面への極の許容を介して一般化した。
• 射影されたデータにAAAアルゴリズムを適用することで、極の位置の安定的かつ正確な初期推定値が得られ、SDRフィッティング段階の収束性およびロバスト性が著しく向上した。