[論文レビュー] Robust Assignments with Vulnerable Nodes

David Adjiashvili, Viktor Bindewald+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、集合被覆問題（SC）と脆弱なロバスト割り当て問題（V-RAP）の間の形式的対応関係を確立し、V-RAPにおける妥当解が、被覆コストを保つまま、一対一でSCにおける妥当な集合被覆に対応することを示している。主な貢献は、SCをV-RAPを用いて解くことのできる還元であり、最適解の構造とコストの等価性を維持するものである。

ABSTRACT

Various real-life planning problems require making upfront decisions before all parameters of the problem have been disclosed. An important special case of such problem especially arises in scheduling and staff rostering problems, where a set of tasks needs to be assigned to an available set of resources (personnel or machines), in a way that each task is assigned to one resource, while no task is allowed to share a resource with another task. In its nominal form, the resulting computational problem reduces to the well-known assignment problem that can be modeled as matching problems on bipartite graphs. In recent work \cite{adjiashvili_bindewald_michaels_icalp2016}, a new robust model for the assignment problem was introduced that can deal with situations in which certain resources, i.e.\ nodes or edges of the underlying bipartite graph, are vulnerable and may become unavailable after a solution has been chosen. In the original version from \cite{adjiashvili_bindewald_michaels_icalp2016} the resources subject to uncertainty are the edges of the underlying bipartite graph. In this follow-up work, we complement our previous study by considering nodes as being vulnerable, instead of edges. The goal is now to choose a minimum-cost collection of nodes such that, if any vulnerable node becomes unavailable, the remaining part of the solution still contains sufficient nodes to perform all tasks. From a practical point of view, such type of unavailability is interesting as it is typically caused e.g.\ by an employee's sickness, or machine failure. We present algorithms and hardness of approximation results for several variants of the problem.

研究の動機と目的

• 集合被覆問題（SC）と脆弱なロバスト割り当て問題（V-RAP）の関係を形式化すること。
• V-RAPにおける妥当解が、SCにおける妥当な集合被覆に正確に対応することを示すこと。
• SCからV-RAPへの変換において、解のコストを保持すること。
• V-RAPを介してロバスト最適化手法をSCに適用する理論的基盤を提供すること。
• V-RAPにおける不確実性集合が、SCにおける被覆対象の要素に対応することを確立すること。

提案手法

• 与えられたSCインスタンス（[k], S）から、変換手順（T1）〜（T2）を用いてV-RAPインスタンス（G, F, c）を構築する。
• グラフGを二つの互いに素な集合U[k] ∪ (WS ∪ W[k]) と辺E[k] ∪ E_SC の和集合として定義する。
• 不確実性集合F = W[k] を設定し、V-RAP定式化における脆弱なノードを表す。
• 式（LABEL:eq_redcostfunc）に従い、コストベクトルc ∈ R^{WS ∪ W[k]} ≥ 0 を定義する。
• W[k] ⊆ X を満たす妥当な集合X ⊆ WS ∪ W[k] と、S ⊆ CX なる妥当な集合被覆CX ⊆ S の間の全単射を確立する。
• V-RAPにおけるXのコストが、SCにおけるCXのコストと等しいことを証明し、コストの保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合被覆問題を、妥当性とコストを保つように脆弱なロバスト割り当て問題に還元する方法は何か？
• RQ2 V-RAPにおけるすべての妥当解が、SCにおける妥当な集合被覆に対応するための構造的性質は何か？
• RQ3 SCからV-RAPへの変換がコストの等価性を維持する条件は何か？
• RQ4 ノード集合U[k]、WS、W[k] は、SC問題をV-RAPフレームワークでモデル化するためにどのように寄与するか？
• RQ5 不確実性集合F = W[k] は、還元の正しさを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• W[k] ⊆ X を満たすV-RAPインスタンスにおける任意の妥当解Xに対して、元のSCインスタンスにおける対応する妥当な集合被覆CX ⊆ S が存在する。
• すべての要素s ∈ [k] が、あるSj ∈ CX によって被覆されるための必要十分条件は、ws がV-RAPインスタンスにおいてwSj ∈ X にマッチングされることである。
• V-RAPインスタンスにおけるXのコストは、SCインスタンスにおけるCXのコストと同一であり、コストの保存が保証される。
• W[k] ⊆ X を満たす妥当解について、SCからV-RAPへの変換は双対的（一対一対応）である。
• 証明により、補助グラフにおけるマッチング条件を通じて、V-RAP定式化がSC問題を正しくモデル化することが確認された。
• G、F、c の指定された構築法のもとで、この還元は有効であり、今後のアルゴリズム的応用のための健全な理論的基盤を確立した。