[論文レビュー] Robust Decidability of Sampled-Data Control of Nonlinear Systems with Temporal Logic Specifications

Jun Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Advanced Control Systems Optimization参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ロバストに完全な有限抽象化を用いたアルゴリズム的手法により、摂動を受ける系に対してロバストな制御戦略が存在する場合、そのような制御戦略がアルゴリズム的に構築可能であることを示すことで、非線形系における時系列論理仕様を満たすサンプリングデータ制御のロバストな決定可能性を確立している。有効な前進オイラー法を用い、誤差の定量的評価を伴うことで、間隔内挙動の正しさを保証するため、ラベル関数の強化を実施し、連続時間系に対しても有限状態の合成が可能となる。これは、やや弱いリプシッツ条件のもとで成立する。

ABSTRACT

This paper explores the theoretical limits of using discrete abstractions for nonlinear control synthesis. More specifically, we consider the problem of deciding continuous-time control with temporal logic specifications. We prove that sampled-data control of nonlinear systems with temporal logic specifications is robustly decidable in the sense that, given a continuous-time nonlinear control system and a temporal logic formula, one can algorithmically decide whether there exists a robust sampled-data control strategy to realize this specification when the right-hand side of the system is slightly perturbed by a small disturbance. If the answer is positive, one can then construct a (potentially less) robust sampled-data control strategy that realizes the same specification. The result is proved by constructing a robustly complete abstraction of the original continuous-time control system using sufficiently small discretization parameters. We illustrate the result with a nonlinear control example.

研究の動機と目的

• 与えられた形式的仕様を満たす非線形系における制御戦略が存在するかどうかを決定する計算的手順が存在するかを特定すること。
• 特に連続時間非線形系において、抽象化に基づく制御合成における完全性保証の欠如に対処すること。
• 存在する場合に限り、ロバストなサンプリングデータ制御戦略がアルゴリズム的に構築可能であることを確立すること、これは微小なシステム摂動に対しても成立する。
• 連続時間の意味論を保ったまま、制御合成における間隔内挙動を正しく扱うこと。
• 有限抽象化を用いたスケーラブルで、整合的かつ完全な制御則合成の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• リプシッツ連続性とシステムダイナミクスの上限（L と M）に基づき、誤差境界を導出することで、誤差を定量的に評価した有効な前進オイラー数値スキームを用いて、サンプリングデータ制御系のロバストに完全な抽象化を構築する。
• 制御空間を下近似し、到達可能集合を上近似する時間離散化遷移系を用いることで、整合性と完全性を保証する。
• 連続時間の意味論下でも正しさを保証するため、間隔内挙動を扱うためにラベル関数の強化（ε-強化）を適用する。
• フィードバックリファインメント関係およびシミュレーション関係（例：事前近似および交互シミュレーション）を用いて、抽象化されたシステムと元のシステムとの関係を定式化する。
• ベクトル場の局所的リプシッツ連続性と、システムダイナミクスの上限（L と M）を用いて、離散化の誤差境界を導出する。
• サンプリング周期 τ と摂動レベル δ₁ < δ₂ にインデックスが付いた抽象化の階層を用いることで、有限状態探索による決定可能性を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間非線形系に対して、与えられた時系列論理仕様を満たすロバストなサンプリングデータ制御戦略が存在するかどうかをアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ2 非線形サンプリングデータ系の有限抽象化が、制御合成において整合的かつ完全であるための条件は何か？
• RQ3 抽象化に基づく制御合成において、間隔内挙動を形式的に扱う方法は何か？ その際、正しさを損なわないようにするには？
• RQ4 微小なシステム摂動に対しても有効である制御戦略を構築することは可能か？ これによりロバスト性が保証されるか？
• RQ5 任意の時系列論理仕様に対して、非線形系の有限抽象化を用いて制御合成の決定可能性を保証することは可能か？

主な発見

• ロバストな決定可能性が確立された：微小な摂動を受ける系においてロバストなサンプリングデータ制御戦略が存在する場合、その戦略はアルゴリズム的に構築可能である。
• リプシッツ連続性とシステムダイナミクスの上限に基づく誤差境界を有する、有効な前進オイラー法を用いたロバストに完全な抽象化が構築された。
• τ = 0.2 の場合、δ = 0.1 および ε = 0.02 を達成し、任意の時系列論理仕様についての決定可能性が保証された。
• 間隔内挙動は、ラベル関数を ε だけ強化することで形式的に扱われ、連続時間の意味論下でも正しさが保証された。
• 有限遷移系の構築により、複雑な非線形系に対しても有限状態探索によるアルゴリズム的制御則合成が可能となった。
• 従来の離散時間系に関する研究で残された空白を埋める形で、連続時間系に対してもロバスト完全性が証明された。