[論文レビュー] Robust Designs via Geometric Programming

Ali Saab, Edward Burnell+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、不確実性集合を用いて不確実性を定式化し、鋭錐最適化を介して凸計画問題に再定式化する、新規のロバスト幾何プログラミング（RGP）フレームワークを提案する。ロバスト線形および2次錐プログラミング技術を活用することで、従来の2変数近似手法と比較して、保守的さと制約数を低減し、航空機設計などの工学的設計問題に対してより効率的で、より保守的でない解法を可能にする。

ABSTRACT

An approximate formulation of a robust geometric program (RGP) as a convex program is proposed. Interest in using geometric programs (GPs) to model complex engineering systems has been growing, and this has motivated explicitly modeling the uncertainties fundamental to engineering design optimization. RGPs provide a framework for modeling and solving GPs while representing their uncertainties as belonging to an uncertainty set. The RGP methodologies presented here are based on reformulating the GP and then robustifying it with methods from robust linear programming. These new methodologies, along with previous ones from the literature, are used to robustify two aircraft design problems, and the results of these different methodologies are compared and discussed.

研究の動機と目的

• 工学的最適化における不確実性下での保守的な最悪ケース設計手法の限界を解消すること。
• 複雑なシステムにおける不確実性をよりよく表現できる、取り扱いやすく、保守的でないロバスト幾何プログラミング（RGP）定式化を開発すること。
• 精度を維持したまま、従来の2変数安全近似手法と比較して制約数を削減すること。
• 特に2次錐プログラミングを活用した凸最適化技術を用いて、ロバスト幾何プログラミングの効率的解法を可能にすること。
• 不確実パラメータを伴う実世界の航空機設計問題において、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 対数変換による変数変換を用いて幾何プログラミングを再定式化し、ポリノミアルを指数関数の和に変換する。
• 不確実パラメータ（係数および指数）を多面体的または楕円的不確実性集合内にモデル化することで、ロバスト最適化の原則を適用する。
• ロバスト線形プログラミングおよび2次錐プログラミングを用いて、ロバスト幾何プログラミングの凸近似を導出する。
• 特にローレンツ錐を用いた双対性および鋭錐最適化技術を通じて、線形および2次錐制約の同等形を導出する。
• 3つの異なる手法を導入する：単項ごとのロバスト化、係数のみの不確実性モデリング、係数と指数の両方の不確実性と依存性の取り扱い。
• すべての不確実性実現に対して制約を満たすように保証する安全近似技術を採用し、凸性と取り扱いやすさを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実性下での幾何プログラミングを、保守的さと制約複雑性を最小限に抑える形でロバスト化する方法は何か？
• RQ2 多面体的不確実性集合と楕円的不確実性集合の構造の違いが、ロバスト近似の取り扱いやすさとタイトネスに与える影響は何か？
• RQ3 鋭錐最適化を用いてロバスト幾何プログラミングを凸計画問題として定式化できるか？ また、既存の2変数近似手法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 提案手法が、従来の2変数安全近似手法と比較して、制約数をどの程度削減できるか？
• RQ5 新規のRGP定式化は、航空機設計などの実際の工学的設計問題における解の品質とロバスト性をどの程度向上させるか？

主な発見

• 提案されたロバスト幾何プログラミングフレームワークは、Hsiungら（2018）の2変数安全近似手法と比較して、制約数の顕著な削減を達成し、計算効率が向上した。
• 楕円的不確実性集合に対して2次錐プログラミングを用いることで、凸的かつ取り扱いやすい定式化が得られ、分段線形近似による過度の保守的さを回避した。
• 係数のみの不確実性に基づく手法は、線形制約の定式化をもたらし、大規模問題に適した計算効率を実現した。
• 単項間の依存性を考慮し、係数と指数の両方の不確実性を同時に扱えるアプローチは、より正確な不確実性集合の表現を可能にし、過度の保守的さを低減した。
• 航空機設計の事例研究において、提案されたRGP定式化は、従来の最悪ケースアプローチと比較して、より保守的でない設計を生み出し、性能と実行可能性の向上を示した。
• 内点法を用いてロバスト化された幾何プログラミングが効果的に解かれたことから、提案された凸再定式化の取り扱いやすさとスケーラビリティが裏付けられた。