[論文レビュー] Robust Draws in Balanced Knockout Tournaments

Krishnendu Chatterjee, Rasmus Ibsen-Jensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Sports Analytics and Performance参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ペアワイズ勝利確率の微小な摂動下におけるバランスド・ノックアウトトーナメント（BKT）における最適なドローのロバストネスを研究する。微小な誤差 𝜀 に対してドローのロバストネスを近似する多項式時間アルゴリズムを提示し、ロバストトーナメント・ファクティング問題（RTFP）とロバスト確率的トーナメント・ファクティング問題（RPTFP）がNP完全であることを証明する。さらに、定数個のプレイヤー型と、少数の例外を許す線形順序という2つの特殊ケースに対しては多項式時間解法が存在する。

ABSTRACT

Balanced knockout tournaments are ubiquitous in sports competitions and are also used in decision-making and elections. The traditional computational question, that asks to compute a draw (optimal draw) that maximizes the winning probability for a distinguished player, has received a lot of attention. Previous works consider the problem where the pairwise winning probabilities are known precisely, while we study how robust is the winning probability with respect to small errors in the pairwise winning probabilities. First, we present several illuminating examples to establish: (a)~there exist deterministic tournaments (where the pairwise winning probabilities are~0 or~1) where one optimal draw is much more robust than the other; and (b)~in general, there exist tournaments with slightly suboptimal draws that are more robust than all the optimal draws. The above examples motivate the study of the computational problem of robust draws that guarantee a specified winning probability. Second, we present a polynomial-time algorithm for approximating the robustness of a draw for sufficiently small errors in pairwise winning probabilities, and obtain that the stated computational problem is NP-complete. We also show that two natural cases of deterministic tournaments where the optimal draw could be computed in polynomial time also admit polynomial-time algorithms to compute robust optimal draws.

研究の動機と目的

• 最適トーナメント・ドローがペアワイズ勝利確率の微小な誤差に対してどの程度感度に依存するかを調査すること。
• 最適ドローがロバストであるかどうか、あるいは摂動下で部分最適ドローが最適ドローを上回るロバストネスを示すかどうかを特定すること。
• 微小な誤差が生じる状況でも最小の勝利確率を保証するドローを求める問題の計算複雑性を形式化し、研究すること。
• 微小な 𝜀 に対してドローのロバストネスを効率的に近似するアルゴリズムを開発すること。
• ロバストな最適ドローを多項式時間で計算可能な特別なトーナメント構造を同定すること。

提案手法

• 特定のプレイヤーの勝利確率を、ペアワイズ確率 P_ij の多項式式としてモデル化する。
• P_ij の 𝜀-摂動下での勝利確率の最大低下を近似するためにテイラー展開を用いる。
• 最大低下が漸近的に 𝜀 に、各 P_ij に対する勝利確率の絶対値偏微分の和を乗じたものに等しいことを導出する。
• 勝利確率の線形近似における係数 α_ij の絶対値の和を計算することで、ドローのロバストネスを算出する。
• 各 P_ij に対して α_ij を再帰的に O(N²) で計算するアルゴリズムを用い、合計ロバストネスを O(N⁴) で算出可能とする。
• ロバストトーナメント・ファクティング問題（RTFP）を古典的トーナメント・ファクティング問題（TFP）に還元することで、NP完全性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的BKTにおける最適ドローは、ペアワイズ勝利確率の微小な摂動下で、他のドローと比べて著しくロバスト性が低いことがあるか？
• RQ2 確率的BKTにおいて、部分最適ドローがすべての最適ドローを上回るロバストネスを示すことがあるか？
• RQ3 ペアワイズ確率の微小な誤差が存在する状況でも、所定の勝利確率を保証するドローを求める問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 微小な 𝜀 > 0 に対して、ドローのロバストネスを効率的に近似できるか？
• RQ5 ロバストな最適ドローを多項式時間で計算可能な特別なトーナメント構造は存在するか？

主な発見

• 最適ドローのロバストネスが約 N𝜀/2 にまで低下する決定的トーナメントが存在する一方で、別の最適ドローではロバストネスが log N · 𝜀 にとどまるため、ロバストネスに顕著な差が生じることが示された。
• 部分最適ドローがすべての最適ドローを上回るロバストネスを示す確率的トーナメントが存在し、最適性がロバストネスを意味するという仮定に反する。
• 微小な 𝜀 > 0 に対して、勝利確率関数の線形近似における絶対係数の和を用いることで、ドローのロバストネスを多項式時間で近似可能である。
• ロバストトーナメント・ファクティング問題（RTFP）とロバスト確率的トーナメント・ファクティング問題（RPTFP）はいずれもNP完全である。
• 定数個のプレイヤー型、および定数個の例外を許す線形順序という2つの特殊ケースにおいて、最適なロバストドローを計算または近似する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• ロバストネスの測定値は、漸近的に勝利確率関数の線形近似における絶対係数の和に 𝜀 を乗じたものと等しくなる。