[論文レビュー] Robust Exponential Attractors for Coleman--Gurtin Equations with Dynamic Boundary Conditions Possessing Memory

Joseph L. Shomberg|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、記憶項と動的境界条件を有するColeman–Gurtin熱方程式に対して、頑健でホルダー連続な指数的吸引子の存在を確立する。特異的摂動を施した記憶カーネルを分析することで、全位相空間にわたるこれらの有限次元集合への指数的吸引が証明され、グローバル吸引子の存在と摂動に対する頑健性が保証される。

ABSTRACT

The well-posedness of a generalized Coleman--Gurtin equation equipped with dynamic boundary conditions with memory was recently established by the author with C.G. Gal. In this article we report advances concerning the asymptotic behavior and stability of this heat transfer model. For the model under consideration, we obtain a family of exponential attractors that is robust/Hölder continuous with respect to a perturbation parameter occurring in a singularly perturbed memory kernel. We show that the basin of attraction of these exponential attractors is the entire phase space. The existence of (finite dimensional) global attractors follows. The results are obtained by assuming the nonlinear terms defined on the interior of the domain and on the boundary satisfy standard dissipation assumptions. Also, we work under a crucial assumption that dictates the memory response in the interior of the domain matches that on the boundary.

研究の動機と目的

• 記憶項と動的境界条件を有するColeman–Gurtin方程式の漸近的挙動を分析すること。
• 記憶カーネルの摂動パラメータに関して頑健である指数的吸引子の存在を確立すること。
• これらの指数的吸引子の吸引域が全位相空間であることを証明し、グローバル吸引子の存在を示すこと。
• 摂動パラメータ $ \varepsilon \in [0,1] $ の変化に伴い、指数的吸引子がホルダー連続となることを保証すること。
• 内部および境界における記憶反応が一致する条件下で、記憶項を有するモデルに対する散逸系の理論を拡張すること。

提案手法

• モデルは、$ \int_0^\infty k(s)ds = 1 $ を満たすカーネル $ k(s) $ を用いた、体積内および境界上に記憶項を有する放物型PDEとして定式化される。
• 摂動パラメータ $ \varepsilon \to 0 $ においてデルタ関数に収束する $ k_\varepsilon(s) = \frac{1}{\varepsilon}k(\frac{s}{\varepsilon}) $ を用いた特異的摂動が導入され、標準的なColeman–Gurtin系が回復される。
• 状態変数と記憶履歴を含むヒルベルト位相空間 $ \mathcal{H}^0_\varepsilon $ において解析が行われる。
• 事前推定とエネルギー法を用いて、位相空間および記憶空間における一様な有界性を導出し、散逸性を保証する。
• 指数的吸引の推移性を応用し、リャプノフ型汎関数とグローバル型不等式を用いて指数的吸引子を構成する。
• 異なる $ \varepsilon $ における解の差を評価することで、Hausdorff距離における吸引子のホルダー連続性を証明し、頑健性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶項と動的境界条件を有するColeman–Gurtin方程式は、有限次元の指数的吸引子を有するか？
• RQ2 記憶カーネルの摂動パラメータ $ \varepsilon \in (0,1] $ に対して、そのような指数的吸引子が摂動に対して頑健であることが示せるか？
• RQ3 指数的吸引子の吸引域が全位相空間であるか。これはグローバル吸引子の存在を示唆する。
• RQ4 内部の記憶応答と境界の応答が一致することで、正規性および長期間の動的挙動が保証されるか？
• RQ5 特にホルダー連続性に注目して、$ \varepsilon \to 0 $ のときの指数的吸引子の正則性と連続性はいかなるものか？

主な発見

• 摂動系の解が生成する半群に対して、$ \varepsilon \in [0,1] $ における指数的吸引子の族 $ (\mathbb{M}_\varepsilon)_{\varepsilon \in [0,1]} $ が存在する。
• 指数的吸引子は頑健である。すなわち、摂動パラメータ $ \varepsilon \in [0,1] $ に対してホルダー連続に依存しており、記憶カーネルの微小な変化に対しても安定性が保証される。
• 指数的吸引子の吸引域は全位相空間 $ \mathcal{H}^0_\varepsilon $ である。これはグローバル吸引子の存在を示唆する。
• グローバル吸引子は、有限次元の指数的吸引子に含まれるため、有限次元である。
• $ \varepsilon_1 $ と $ \varepsilon_2 $ における解の差は、$ C \frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_2} Q(R_1) $ で有界であり、$ \varepsilon_1 \to \varepsilon_2 $ のとき減少する。これにより、頑健性が確認される。
• 非線形項 $ f(u) $ および $ g(u) $ に対して標準的な散逸仮定が成立し、内部と境界における記憶応答の一致条件が成立する。