[論文レビュー] Robust Fundamental Lemma for Data-driven Control

Jeremy Coulson, Henk van Waarde+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2022

Control Systems and Identification被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、データ駆動制御の基本的補題のロバスト版を提示する。二値のランク条件の代わりに、データ・ハンケル行列の最小特異値に対する下界を導入することで、ノイズに強い性能を実現する。入力を設計して最小特異値を十分に大きくすることで、ノイズへの耐性が向上し、予測制御性能が向上する。これは、従来の持続的励起条件の代わりに定量的でロバストな代替手段を提供する。

ABSTRACT

The fundamental lemma by Willems and coauthors facilitates a parameterization of all trajectories of a linear time-invariant system in terms of a single, measured one. This result plays an important role in data-driven simulation and control. Under the hood, the fundamental lemma works by applying a persistently exciting input to the system. This ensures that the Hankel matrix of resulting input/output data has the "right" rank, meaning that its columns span the entire subspace of trajectories. However, such binary rank conditions are known to be fragile in the sense that a small additive noise could already cause the Hankel matrix to have full rank. Therefore, in this extended abstract we present a robust version of the fundamental lemma. The idea behind the approach is to guarantee certain lower bounds on the singular values of the data Hankel matrix, rather than mere rank conditions. This is achieved by designing the inputs of the experiment such that the minimum singular value of a deeper input Hankel matrix is sufficiently large. This inspires a new quantitative and robust notion of persistency of excitation. The relevance of the result for data-driven control will also be highlighted through comparing the predictive control performance for varying degrees of persistently exciting data.

研究の動機と目的

• ノイズの多いデータにおいてランク条件が微小な摂動によって失敗する、古典的なデータ駆動制御手法の脆弱性を解消すること。
• 二値的かつ非ロバストな古典的持続的励起条件の定量的代替手段を構築すること。
• データ・ハンケル行列の最小特異値に下界を保証することで、システム同定および制御におけるノイズ耐性を向上させること。
• 数値的ケーススタディを通じて、より高い特異値の下界が、より優れた予測制御性能をもたらすことを示すこと。
• データの汚損に強い、性能保証が可能なデータ駆動制御の新たな理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 入力のハンケル行列の最小特異値に基づく、新たな定量的持続的励起の概念を提案。これにより、フルの行ランクではなくなる。
• 入力／状態データ行列の最小特異値が、ユーザーが定義した閾値 ρ₀ に対して下界を満たす条件を導出する。
• 得られるデータ・ハンケル行列が σ₁(Θ_z) ≥ ρ₀ を満たすような入力シーケンスの設計基準を導入。これによりロバスト性を確保する。
• 特異値の下界を用いて、データ行列のムーア・ペンローズ一般化逆行列を介してロバストなデータ駆動予測器を構築する。
• 再帰的ホライズン予測制御フレームワークにロバストなデータモデルを適用し、ノイズ下での性能を評価する。
• Lemma 3.1 および Theorem 3.1 を用いて理論的保証を確立。入力設計とデータ行列の特異値下界の関係を明示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動制御におけるノイズ耐性を保証する定量的持続的励起の尺度を定義できるか？
• RQ2 データ・ハンケル行列の最小特異値は、データ駆動予測制御の性能にどのように関係するか？
• RQ3 データ行列の最小特異値に下界を保証するための入力設計戦略は何か？
• RQ4 より高い特異値下界を持つデータを生成することで、ノイズ下でもより優れた制御性能が得られるか？
• RQ5 古典的基本的補題を、壊れやすいランク条件を避けるロバスト版に一般化できるか？

主な発見

• 数値例で示されるように、データ・ハンケル行列の最小特異値が大きいデータセットは、顕著に優れた予測制御性能を示す。
• 最小特異値が低下するにつれて制御性能が劣化する：δ(1) = 2.9×10⁻² が最良の性能を示し、δ(3) = 2.9×10⁻⁴ が最悪の性能であった。
• ρ₀ = 0.105 の場合、理論的下界により、データ行列が安定な予測に必要なロバスト性条件を満たすことが保証される。
• 提案手法により、データ行列が最小特異値に下界を保つことが保証され、ロバストなシステム同定および制御が可能になる。
• ロバスト基本的補題は、ランク条件を定量的かつノイズ耐性のある基準に置き換えることで、古典的結果を一般化する。
• 数値的検証により、より高い持続的励起度（δ が大きい）を持つ入力が、より正確かつ安定なデータ駆動予測器を実現することが確認された。