[論文レビュー] Robust Hedging and Martingale Optimal Transport in Continuous Time

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、連続時間における連続過程としてモデル化された株価を想定し、経路に依存するヨーロピアン・オプションのロバストヘッジとマーティングール最適輸送問題との間に双対性を確立する。時間分割を細かくするに従い、最小のスーパーホッジングコストに漸近的に到達する区分的定数のスーパーリプレケーション・ポジションを構築し、与えられた満期周辺分布のもとで、動的取引と静的ヴァナイル・オプションの組み合わせによるモデルに依存しないヘッジを提供する。

ABSTRACT

The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.

研究の動機と目的

• 経路に依存するヨーロピアン・オプションのロバストヘッジと連続時間におけるマーティングール最適輸送問題との間の双対性を確立すること。
• 時間分割が細かくなるにつれて最小のスーパーリプレケーションコストに漸近的に到達する、単純で区分的定数のスーパーリプレケーション・ポートフォリオの族を構築すること。
• 基礎資産の価格過程に特定のモデルを仮定しないで、基礎資産における動的取引とヴァナイル・オプションにおける静的ポジションを組み合わせたモデルに依存しないヘッジフレームワークを提供すること。
• 最小のスーパーリプレケーションコストを、固定された終期周辺分布を持つマーティングール測度の上でのモンジュ＝カンタロヴィチ型輸送問題の解として特徴づけること。

提案手法

• 動的取引と静的ヴァナイル・オプションを用いて経路に依存するヨーロピアン・オプションをスーパーリプレケーションするポートフォリオのコストを最小化する形で、ロバストヘッジ問題を定式化する。
• 与えられた終期周辺分布を持つすべてのマーティングール測度の上でのオプションの期待ペイオフを最大化する双対問題を導入する。
• 最適輸送理論を用いて、プライマルヘッジング問題と双対輸送問題との間の同等性を確立する。
• 時間分割を細かくするに従い、最小コストに収束する区分的定数のスーパーリプレケーション戦略の族を構築する。
• 基礎資産の動的挙動を連続半マルティンゲールとして扱うために、連続時間確率解析を適用する。
• マーティングール輸送問題における双対最適化子の存在に依存し、双対ギャップがゼロであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間におけるロバストヘッジとマーティングール最適輸送の間の正確な双対性関係は何か？
• RQ2 単純で区分的定数のスーパーリプレケーション戦略が、最小のスーパーリプレケーションコストに漸近的に到達できるか？
• RQ3 最小のスーパーリプレケーションコストは、固定された終期周辺分布を持つすべてのマーティングール測度上での期待ペイオフの最大値とどのように関係するか？
• RQ4 基礎資産の特定のモデルがない状況下で、最適スーパーリプレケーション戦略の構造的性質は何か？
• RQ5 連続時間設定において、ヘッジと輸送の間の双対性が成立する条件は何か？

主な発見

• ロバストヘッジ問題とマーティングール最適輸送問題との間で完全な双対性が確立され、双対ギャップは存在しない。
• 最小のスーパーリプレケーションコストは、与えられた終期周辺分布を持つすべてのマーティングール測度上での期待ペイオフの上界（supremum）として特徴づけられる。
• 時間分割が細かくなるにつれて最小コストに漸近的に到達する区分的定数のスーパーリプレケーション戦略の族が構築された。
• 双対問題が、マーティングール制約の下でオプションペイオフを最大化するモンジュ＝カンタロヴィチ型輸送問題として示された。
• スーパーリプレケーション戦略の構築は明示的であり、計算的に取り扱いやすく、動的ヘッジと静的オプションのみに依存する。
• 結果は最小限の仮定のもとで成り立つ。基礎資産価格過程の連続性のみを要件としている。