[論文レビュー] Robust Kalman Filtering Under Model Uncertainty: the Case of Degenerate Densities

Shenglun Yi, Mattia Zorzi|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2021

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モデルの不確実性を考慮したロバストなカルマンフィルタリングフレームワークを提案し、特に関連する（低ランクの）遷移密度を扱う。相対エントロピーを用いて定義された不確実性集合上でのミニマックスゲームとして定式化することで、数値的安定性を保ちつつ、高次元または退化した状況でも標準カルマンフィルタを上回る性能を発揮する低ランクのリスクセンシティブなリカッチ型反復を導出する。

ABSTRACT

We consider a robust state space filtering problem in the case that the transition probability density is unknown and possibly degenerate. The resulting robust filter has a Kalman-like structure and solves a minimax game: the nature selects the least favorable model in a prescribed ambiguity set which also contains non-Gaussian probability densities, while the other player designs the optimum filter for the least favorable model. It turns out that the resulting robust filter is characterized by a Riccati-like iteration evolving on the cone of the positive semidefinite matrices. Moreover, we study the convergence of such iteration in the case that the nominal model is with constant parameters on the basis of the contraction analysis in the same spirit of Bougerol. Finally, some numerical examples show that the proposed filter outperforms the standard Kalman filter.

研究の動機と目的

• 共分散行列が不定形式となる高次元または退化したシステムにおいて、標準カルマンフィルタが失敗することを解決すること。
• 遷移密度が退化する可能性がある状況にまで拡張されたロバストカルマンフィルタリングを実現し、気象予測や海洋学への応用を可能にすること。
• 相対エントロピーに基づく不確実性集合を用いて、モデル不確実性を扱うミニマックスフィルタリングフレームワークを構築すること。
• 定常なシステムパラメータ下で、収縮解析を用いて数値的安定性と収束性を保証すること。
• 最小不利モデルと、低ランク設定に一般化されたリスクセンシティブフィルタリングを一般化するロバストフィルタ構造を導出すること。

提案手法

• ロバストフィルタリング問題をミニマックスゲームとして定式化：自然界が不確実性集合内から最小不利なモデルを選択し、フィルタ設計者はそのモデルに対して最適化を実行する。
• 不確実性集合を、名目となるガウスモデルを中心とするカルバック・ライバラー球として定義し、相対エントロピー制約により退化した密度を含める。
• 最小不利モデルを解析的に導出し、平均および交差共分散を保持したまま、状態共分散行列のみが摂動されることを示す。
• 正定値行列の錐上を動く低ランクでリスクセンシティブなリカッチ型反復を提案し、退化を扱えるように反復構造を適合させる。
• ブーガロールの精神に則った収縮解析を用い、安定性、可観測性、および小さな不確実性集合の条件下でロバストフィルタの収束を確立する。
• 低ランク構造を扱うために行列分解（例：特異値分解）を適用し、高次元システムにおいても計算が可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化（低ランク）な遷移密度を有するシステムに、ロバストカルマンフィルタリングをどのように拡張できるか？
• RQ2 モデル不確実性および退化した密度が存在する状況における最小不利モデルの構造は何か？
• RQ3 名目モデルが定常パラメータを有する場合、不確実性集合が小さい条件下で、安定性と収束性を保つロバストフィルタを設計可能か？
• RQ4 モデル不一致下での推定精度という観点から、提案手法のフィルタは標準カルマンフィルタとどのように比較されるか？
• RQ5 退化した状況下で、ロバストリカッチ反復の収束を保証する条件は何か？

主な発見

• 提案されたロバストフィルタはカルマン型の構造を有し、遷移密度が退化していても、正定値行列の錐上を動くリカッチ型反復によって特徴づけられる。
• 最小不利モデルは、平均および交差共分散を保持したまま、状態共分散行列のみを摂動することを示した。これは、ロバスト設計を単純化する。
• 安定性、到達可能部分空間の可観測性、および十分に小さな不確実性集合の条件下で、ロバストフィルタの収束が保証される。
• 数値例において、高次元または退化したシステムにおいて、数値的安定性を保ちながら、標準カルマンフィルタを上回る性能を発揮する。
• ロバストフィルタは、擬似逆行列および部分空間射影を用いて退化を処理する低ランクリスクセンシティブリカッチ反復に対応しており、これは文献において初めての発見である。
• 相対エントロピー制約により、不確実性集合は非ガウス分布および退化した密度を含むことが保証され、気象予測などの実世界問題への応用が可能になる。