[論文レビュー] Robust one-bit compressed sensing with partial circulant matrices

Sjoerd Dirksen, Shahar Mendelson|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分巡回測定行列を用いたロバストな1ビット圧縮センシングフレームワークを提示する。この行列は構造的であり、実装にも効率的である。ジタリング量子化と凸最適化を用いることで、アナログ事前量子化ノイズと敵対的ビット反転の両方を含む現実的なノイズ条件下でも、最適なサンプル複雑性を達成し、高ノイズレベル下でもスパース信号の正確な復元を保証する。

ABSTRACT

We present optimal sample complexity estimates for one-bit compressed sensing problems in a realistic scenario: the procedure uses a structured matrix (a randomly sub-sampled circulant matrix) and is robust to analog pre-quantization noise as well as to adversarial bit corruptions in the quantization process. Our results imply that quantization is not a statistically expensive procedure in the presence of nontrivial analog noise: recovery requires the same sample size one would have needed had the measurement matrix been Gaussian and the noisy analog measurements been given as data.

研究の動機と目的

• 1ビット圧縮センシングにおけるギャップを埋めるために、顕著なアナログ事前量子化ノイズと敵対的ビット破損を含む現実的なノイズ条件下でもロバストな復元を可能にすること。
• i.i.d. ガウス行列では現実世界の応用に不適切であるため、特に部分巡回行列を含む構造的測定行列を用いた実用的な解決策を開発すること。
• 非自明なノイズレベル下でも最適なサンプル複雑性を達成すること。ガウス行列の理論的性能を維持しつつ、計算および実装の可能性を保つこと。
• アナログノイズが存在する場合、量子化が統計的にコストがかからないことを示すことで、未量子化のガウスケースと同等のサンプル数が必要であることを示すこと。

提案手法

• 測定行列として部分巡回行列を用いる。これは構造的であり、物理的システムにおいて効率的に実装可能であり、実用的導入を可能にする。
• 一様分布 $[-\rho, \rho]$ から抽出されたランダムなしきい値を用いたジタリング量子化を採用する。これにより、量子化プロセスが安定化され、ノイズに対するロバスト性が向上する。
• 1ビット測定値がノイズおよびビット反転によって汚染された状態からスパース信号を復元するために、一般化リッジ回帰または $\rho$-正則化プログラムによる凸最適化を適用する。
• 構造的行列に対する修正された成長性を用いて復元の保証を確立し、行列によるスパース集合の像がサブガウス型の集中性を満たすことを示す。
• サブガウス型および重尾型ノイズモデルを用いてサンプル複雑性の上限を導出する。ノイズレベル、信号のスパarsity、所望の精度に明示的な依存関係を示す。
• 双対性に基づく解析フレームワークを用い、誤差を関心対象の集合のガウス幅の項で上界で抑え、構造的行列および量子化済みデータに適応させたものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. ガウス行列ではなく、部分巡回行列のような構造的測定行列を用いた1ビット圧縮センシングが、最適なサンプル複雑性を達成できるか。
• RQ2 1ビット圧縮センシングにおいて、アナログ事前量子化ノイズと敵対的ビット破損の両方に対してロバスト性を実現する方法は何か。
• RQ3 現実的なノイズ条件下で、スパース信号を誤差が $\rho$ 以下に抑えるために必要な最小の1ビット測定数は何か。
• RQ4 ジタリングは、非ガウス的で構造的な行列に対して1ビット圧縮センシングのロバスト性を顕著に向上させるか。また、そのような向上をタイトなサンプル複雑性上限で形式化できるか。
• RQ5 構造的行列を用いた1ビット圧縮センシングの復元性能は、理想のガウスケースと同等のサンプル複雑性を達成できるか。

主な発見

• 提案手法は、対数因子を除いて最適なサンプル複雑性を達成する。$\rho$-正確な復元には、$m \geq c_3 \gamma_1^2 \gamma_2^2 \frac{\lambda^2 s \log(en/s)}{\rho^4}$ 個の測定が必要である。
• ノイズおよびしきい値パrameterに関するやや緩い条件の下で、$\|x^\# - x\|_2 \leq \rho$ が高確率 $1 - (s/\rho^2 n)^2$ で成立する。
• ジタリングレベル $\lambda$ が適切に選ばれていれば、サブガウス型およびより重い尾を持つノイズに対しても、手法はロバストである。
• 結果は、対数因子を除いてミニマックス最適であり、この設定では他のいかなる手法よりも優れたサンプル複雑性を達成できない。
• 部分巡回行列の使用により、実装の実用性を保ちつつ理論的保証を維持できるため、実世界の信号取得に適したフレームワークとなる。
• 一般化リッジ回帰や $\ell_2$-射影に基づくソルバーといった代替の復元プログラムも、同じ復元保証を達成でき、実装の柔軟性を提供する。