[論文レビュー] Robust Optimal Control with Adjustable Uncertainty Sets

Xiaojing Zhang, Maryam Kamgarpour+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、調整可能な不確実性集合を用いたロバスト最適制御のための凸最適化フレームワークを提案する。不確実性集合のサイズと形状を意思決定変数として扱う。不確実性集合を基本凸集合のアフィン変換として制限し、アフィン制御方策を用いることで、問題を計算可能な凸計画問題に再定式化し、電力系統などにおける最適予備容量の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we develop a unified framework for studying constrained robust optimal control problems with adjustable uncertainty sets. In contrast to standard constrained robust optimal control problems with known uncertainty sets, we treat the uncertainty sets in our problems as additional decision variables. In particular, given a finite prediction horizon and a metric for adjusting the uncertainty sets, we address the question of determining the optimal size and shape of the uncertainty sets, while simultaneously ensuring the existence of a control policy that will keep the system within its constraints for all possible disturbance realizations inside the adjusted uncertainty set. Since our problem subsumes the classical constrained robust optimal control design problem, it is computationally intractable in general. We demonstrate that by restricting the families of admissible uncertainty sets and control policies, the problem can be formulated as a tractable convex optimization problem. We show that our framework captures several families of (convex) uncertainty sets of practical interest, and illustrate our approach on a demand response problem of providing control reserves for a power system.

研究の動機と目的

• 不確実性集合が事前に固定されたものではなく、意思決定変数として扱われる制約付きロバスト最適制御問題の統一的フレームワークの構築を目的とする。
• 不確実性集合のサイズと形状を同時に最適化しつつ、その集合内に含まれるあらゆる摂動に対して制約を満たすことを保証するという課題に取り組む。
• 従来のロバスト制御手法を拡張し、電力系統や類似応用分野における最適予備容量の効率的計算を可能にする。
• 特定の構造的仮定の下で問題を凸再定式化することで、一般ケースにおける固有の非効率性を克服し、計算的に取り扱える形にすること。
• ノルムボール、楕円体、ハイパーレクトアンブル、および事前に定義された頂点を有するコンactポリトープなどの実用的不確実性集合族への適用を示すこと。

提案手法

• 不確実性集合を基本凸集合のアフィン変換としてモデル化し、変換行列とシフトベクトルによってパrameter化する。
• 制御方策を基本集合に関してアフィンに制限することで、因果性と計算可能性を確保する。
• 不確実性集合が調整可能であるロバスト最適制御問題を、コーン最適化技術を用いて凸最適化問題に再定式化する。
• 変換された不確実性集合を因果的制御方策空間へマップするリフト作用素を活用し、妥当性と最適性を保持する。
• 制御方策行列におけるブロック下三角構造と基本集合の凸性を活用することで、多項式時間内に解けるようにする。
• 多角形集合については単体を基本集合として用いることで、柔軟な不確実性集合設計を可能とし、頂点数が固定されたコンパクトポリトープの最適化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバスト最適制御問題は、不確実性集合が固定ではなく、システムレジリエンスを最適化する意思決定変数となるように再定式化可能だろうか？
• RQ2 どのような構造的仮定の下で、調整可能な不確実性集合の問題が計算的に取り扱えるままであるか？
• RQ3 不確実性集合がアフィン写像によって変換される場合に、アフィン制御方策をどのように設計すれば因果性と制約満たしを維持できるか？
• RQ4 楕円体、ノルムボール、またはハイパーレクトアンブルなどのどのような凸不確実性集合族が、このフレームワーク内で効率的に最適化可能か？
• RQ5 本フレームワークは、運用制約を満たしつつ予備容量を最大化することを目的とする電力系統における需要応答のような実世界問題に適用可能だろうか？

主な発見

• 不確実性集合が基本凸集合のアフィン変換であり、制御方策が基本変数に関してアフィンである限り、調整可能な不確実性集合を伴うロバスト最適制御問題は、取り扱い可能な凸最適化問題に再定式化可能である。
• 本フレームワークは、ノルムボール、楕円体、ハイパーレクトアンブル、および事前に定義された頂点数を持つコンパクトポリトープを含む広範な不確実性集合族の最適化を効率的に行うことを可能にする。
• 単体を基本集合として選ぶことで、多角形不確実性集合の最適化を効率的に行うことができ、従来の特定のノルムに限定された研究を拡張する。
• 変換された不確実性集合を因果的制御方策空間へマップするリフト作用素を用いることで、因果性と制約満たしを保持する。
• 元の問題と再定式化された凸問題との間の同値性が証明され、一方の定式化における妥当解が他方の定式化においても同じ目的値を達成する妥当解に写像されることを示している。
• 本手法は意思決定パrameter数に対して多項式スケーリングを示し、電力系統の予備容量供与などの実用的応用分野における実装に適している。