[論文レビュー] Robust optimization with incremental recourse

Ebrahim Nasrabadi, James B. Orlin|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2013

Risk and Portfolio Optimization参考文献 26被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、不確実な線形計画問題に対するロバストな段階的最適化フレームワークを導入する。意思決定は2段階で行われる：初期解が選ばれ、その後不確実なコストが明らかになった後に、ある限界距離内での調整が行われる。主な貢献は、不確実性集合が多面体である場合、線形計画問題のロバスト段階的同等問題が、自身が線形計画問題であることを証明することであり、多面体不確実性下では多項式時間で解けることが示される。一方、離散的不確実性集合ではNP困難であり、多面体不確実性下での段階的最短経路問題および最小スパニングツリー問題はNP完全であることを確立している。

ABSTRACT

In this paper, we consider an adaptive approach to address optimization problems with uncertain cost parameters. Here, the decision maker selects an initial decision, observes the realization of the uncertain cost parameters, and then is permitted to modify the initial decision. We treat the uncertainty using the framework of robust optimization in which uncertain parameters lie within a given set. The decision maker optimizes so as to develop the best cost guarantee in terms of the worst-case analysis. The recourse decision is ``incremental"; that is, the decision maker is permitted to change the initial solution by a small fixed amount. We refer to the resulting problem as the robust incremental problem. We study robust incremental variants of several optimization problems. We show that the robust incremental counterpart of a linear program is itself a linear program if the uncertainty set is polyhedral. Hence, it is solvable in polynomial time. We establish the NP-hardness for robust incremental linear programming for the case of a discrete uncertainty set. We show that the robust incremental shortest path problem is NP-complete when costs are chosen from a polyhedral uncertainty set, even in the case that only one new arc may be added to the initial path. We also address the complexity of several special cases of the robust incremental shortest path problem and the robust incremental minimum spanning tree problem.

研究の動機と目的

• 不確実なコストパラメータが明らかになった後、段階的に調整可能な2段階のロバスト最適化モデルの開発。
• 最短経路や最小スパニングツリーといった古典的最適化問題のロバスト段階的変種の計算複雑性の分析。
• 異なる不確実性集合構造下で、線形計画問題のロバスト段階的同等問題が解けるかどうかの検討。
• 特に、特定のロバスト段階的問題について、NP困難性およびNP完全性を含む複雑性の上限を確立すること。

提案手法

• 段階的最適化問題を二段階最適化としてモデル化：初期解の最悪ケースコストとその段階的調整コストの合計を最小化し、解空間内の変化を限界距離で制約する。
• 初期解 x からの固定距離 K 以内の全可能な解からなる集合 𝒮ₓ を定義し、距離関数 F(x,y) を用いる。
• 多面体不確実性集合の場合、ロバスト段階的線形計画問題が単一の線形計画問題に再定式化可能であることを示し、多項式時間で解けることを保証する。
• ラグランジュ緩和と双対性の技術を用いて、基数制約付き不確実性下での段階的最小スパニングツリー問題を解く。マトロイド構造と強い双対性を活用する。
• 最適化と分離の等価性を用い、不確実性集合がコスト変動の基数制約で定義される場合、敵対的問題（最悪ケースコスト選択）を多項式時間で解けることを示す。
• 最小スパニングツリー定式化における部分巡回制約のための分離オракルを用い、内点法や切断平面法を効率的に適用可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実性集合が多面体である場合、線形計画問題のロバスト段階的同等問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 多面体不確実性下でのロバスト段階的最短経路問題の計算複雑性はいかほどか？
• RQ3 基数制約付き不確実性下でのロバスト段階的最小スパニングツリー問題はNP困難か、それとも多項式時間で解けるか？
• RQ4 ロバスト段階的フレームワークにおいて、敵対的問題（最悪ケースコスト選択）は効率的に解けるか？
• RQ5 両方の問題（段階的および敵対的問題）がNPに属するという前提のもと、ロバスト段階的問題の意思決定版は Σ₂^p 完全か？

主な発見

• 不確実性集合が多面体である場合、線形計画問題のロバスト段階的同等問題は、自身が線形計画問題であり、多項式時間で解ける。
• 不確実性集合が離散的である場合、ロバスト段階的線形計画問題はNP困難であることが示され、その複雑性の下界が確立される。
• 多面体不確実性集合下では、初期経路に1つの新しいアークしか追加できない場合ですら、ロバスト段階的最短経路問題はNP完全である。
• 基数制約付き不確実性集合下での敵対的最小スパニングツリー問題は、双対性と部分巡回制約のための分離オラクルを用いることで、多項式時間で解ける。
• 段階的最小スパニングツリー問題は、均一マトロイドと森マトロイドの交差として表現可能であり、整数性性質を有するため、効率的なラグランジュ緩和が可能である。
• ロバスト段階的最小スパニングツリー問題の正確な複雑性クラスは未解決のままであるが、与えられた不確実性モデル下では、その敵対的変種は多項式時間で解ける。