[論文レビュー] Robust preconditioning for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Catherine E. Powell+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、不確実なヤング率を有するパrameter依存線形弾性問題に対して、三変数混合確率ガラーキン有限要素法を提案し、MINRESに対する新規スホイズナーを用いて、大規模な不定線形システムを安定的に解く手法を提供する。主な貢献は、メッシュサイズやポisson比に依存しない固有値の境界を確立することにより、収束のロバスト性を保証することにある。

ABSTRACT

We consider the nearly incompressible linear elasticity problem with an uncertain spatially varying Young's modulus. The uncertainty is modelled with a finite set of parameters with prescribed probability distribution. We introduce a novel three-field mixed variational formulation of the PDE model and discuss its approximation by stochastic Galerkin mixed finite element techniques. First, we establish the well posedness of the proposed variational formulation and the associated finite-dimensional approximation. Second, we focus on the efficient solution of the associated large and indefinite linear system of equations. A new preconditioner is introduced for use with the minimal residual method (MINRES). Eigenvalue bounds for the preconditioned system are established and shown to be independent of the discretisation parameters and the Poisson ratio. The S-IFISS software used for computation is available online.

研究の動機と目的

• パラメータ依存線形弾性問題の確率ガラーキン離散化から生じる大規模で不定の線形システムを解く数値的課題に対処すること。
• 不確実な材料特性を有するほぼ不可縮変形弾性問題に対して、安定的かつ適切に定式化された三変数混合変分法を構築すること。
• メッシュサイズやポisson比に依存しないMINRES反復の収束を保証するスホイズナーを設計すること。
• スホイズナーを施した系の理論的固有値境界を確立し、数値的安定性と効率性を保証すること。
• 再現可能性および広範な応用を可能とするために、S-IFISSを通じたオープンソース実装を提供すること。

提案手法

• 近似的に不可縮変形状態を安定化するため、変位、応力、および補助変数を含む三変数混合変分法を導入する。
• 弱形式の近似に確率ガラーキン有限要素法を適用し、大規模なサドルポイント型線形システムを導出する。
• MINRES反復ソルバーに特化した新規スホイズナーを構築し、収束のロバスト性を向上させる。
• スホイズナーを施した系の固有値に対する理論的境界を導出し、メッシュサイズやポisson比に依存しないことを示す。
• 数値的実装および本手法の検証に、S-IFISSソフトウェアフレームワークを用いる。
• 空間的に変化するヤング率が確率分布に従う境界値問題に対して、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実なヤング率を有するパラメータ依存線形弾性問題に対して、安定した三変数混合変分法をどのように構築できるか？
• RQ2 確率ガラーキン系が適切に定式化され、かつ効率的に解けるための条件は何か？
• RQ3 MINRES収束がメッシュの細分化やポisson比に依存しないスホイズナーを設計できるか？
• RQ4 スホイズナーを施した系に対して、どのような理論的固有値境界を確立できるか？また、これらは主要パラメータに依存しないか？
• RQ5 提案手法は、既存の確率的弾性問題の手法と比較して、効率性およびロバスト性において優れているか？

主な発見

• 提案された三変数混合変分法は適切に定式化されており、確率的弾性問題の有限次元近似を安定に導く。
• 得られる線形システムは大規模かつ不定的であり、確率的パラメータを有する混合有限要素法の典型的な特徴である。
• 新規スホイズナーにより、スホイズナーを施した系の条件数がメッシュサイズやポisson比に依存せずに有界に保たれる。
• スホイズナーを施した系の理論的固有値境界が確立され、メッシュサイズや材料パラメータに依存しないロバスト性が示された。
• S-IFISSソフトウェアフレームワークは公開されており、再現性を確保するとともに、他の確率的PDE問題への応用拡張を可能にする。
• 数値実験により、異なるパrameter設定およびメッシュの細分化に対しても、スホイズナーを施したMINRESソルバーのロバスト性が確認された。