[論文レビュー] Robust PT symmetry of two-dimensional fundamental and vortex solitons supported by spatially modulated nonlinearity

Eitam Luz, Vitaly Lutsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、空間的に変調された非線形性と複素の増幅・減衰ポテンシャルを有する2次元非線形シュレーディンガー模型を提案し、任意に大きな増幅・減衰係数に対しても破れない堅牢な $π\mathcal{T}$ 対称性を示している。基本的およびヴォルテックスソリトンの正確な解が得られ、$π\mathcal{T}$ 対称でないモデルを含む連続的なソリトン族の安定性が確立され、非線形自己閉じ込めモードを通じて線形系を超えた $π\mathcal{T}$ 対称性の概念が拡張されている。

ABSTRACT

The real spectrum of bound states produced by PT-symmetric Hamiltonians usually suffers breakup at a critical value of the strength of gain-loss terms, i.e., imaginary part of the complex potential. On the other hand, it is known that the PT-symmetry can be made unbreakable in a one-dimensional (1D) model with self-defocusing nonlinearity whose strength grows fast enough from the center to periphery. The model is nonlinearizable, i.e., it does not have a linear spectrum, while the (unbreakable) PT symmetry in it is defined by spectra of continuous families of nonlinear self-trapped states (solitons). Here we report results for a 2D nonlinearizable model whose PT symmetry remains unbroken for arbitrarily large values of the gain-loss coeffcient. Further, we introduce an extended 2D model with the imaginary part of potential ~ xy in the Cartesian coordinates. The latter model is not a PT-symmetric one, but it also supports continuous families of self-trapped states, thus suggesting an extension of the concept of the PT symmetry. For both models, universal analytical forms are found for nonlinearizable tails of the 2D modes, and full exact solutions are produced for particular solitons, including ones with the unbreakable PT symmetry, while generic soliton families are found in a numerical form. The PT-symmetric system gives rise to generic families of stable single- and double-peak 2D solitons (including higher-order radial states of the single-peak solitons), as well as families of stable vortex solitons with winding numbers m = 1, 2, and 3. In the model with imaginary potential ~ xy, families of single-and multi-peak solitons and vortices are stable if the imaginary potential is subject to spatial confinement. In an elliptically deformed version of the latter model, an exact solution is found for vortex solitons with m = 1.

研究の動機と目的

• 空間的に変調された非線形性と複素の増幅・減衰項を有する非線形化不能な系における2次元ソリトンの存在と安定性を調査すること。
• 連続的な非線形自己閉じ込め状態の解析を通じて、線形スペクトルを超えて $π\mathcal{T}$ 対称性の概念を拡張すること。
• 2次元設定において、任意に大きな増幅・減衰係数に対しても $π\mathcal{T}$ 対称性が破れないことを示すこと。
• $π\mathcal{T}$ 対称でないモデルにおける基本的およびヴォルテックスオブリオンの安定性と構造を、空間的に局在した虚数ポテンシャルを伴うモデルで調査すること。
• 複雑で非エルミート的かつ非線形な系における正確で安定なソリトン解を構築するための数値的および解析的手段を開発すること。

提案手法

• 定常状態は、空間的に変調された非線形性と複素ポテンシャルを有する非線形シュレーディンガー方程式にニュートン共役勾配法を適用することで計算された。
• 安定性解析のための線形化固有値問題は、スペクトルコロケーション法を用いて数値的に解かれ、摂動は線形化系の固有値 $Γ$ を通じて分析された。
• 時間発展の直接的シミュレーションは、分割ステップフーリエ法を用い、$\Delta z = 10^{-5}$ の小さなステップサイズをとることで、特異な非線形性および増幅・減衰プロファイルの影響を正確に再現した。
• 非線形性係数 $\Sigma(r)$ は半径方向に増加するため、系は非線形化不能となり、$π\mathcal{T}$ 対称性が破れない状態を実現できる。
• 2種類の異なる虚数ポテンシャル分布を検討した：一つは $W(x,y) \sim x^2 - y^2$（標準的な $π\mathcal{T}$ 対称性）であり、もう一つは $W(x,y) \sim xy$（$π\mathcal{T}$ 対称でないが、依然として安定なソリトンを支持する）。
• 2次元ソリトンの非線形化不能な尾部について普遍的な解析的形が導出され、特定のソリトン状態（$m=1,2,3$ のヴォルテックスオブリオンを含む）に対して正確な解が構築された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に変調された非線形性を有する2次元非線形化不能系において、任意に大きな増幅・減衰係数に対しても $π\mathcal{T}$ 対称性が破れないか。
• RQ2 虚数ポテンシャルが $π\mathcal{T}$ 対称性を破るが、空間的に局在している場合に、非線形化不能な2次元モデルにおいて連続的な安定ソリトン族が存在するか。
• RQ3 このような系における2次元ソリトンの非線形化不能な尾部の普遍的な解析的形は何か。
• RQ4 増幅・減衰項の空間的分布および非線形性の変調に依存する、基本的およびヴォルテックスオブリオンの安定性特性はどのように変化するか。
• RQ5 非線形化不能なモデルにおいて、高次の径方向およびヴォルテックスモードを含む特定のソリトン状態に対して正確な解析的解が得られるか。

主な発見

• $π\mathcal{T}$ 対称モデルは、任意に大きな増幅・減衰係数に対しても破れない $π\mathcal{T}$ 対称性を維持する連続的な安定な1ピークおよび2ピークソリトン族（高次の径方向状態を含む）を支持している。
• $π\mathcal{T}$ 対称モデルでは、位相的荷重 $m=1$, $2$, $3$ の安定なヴォルテックスオブリオンが見つかっており、広いパrameter領域で存在している。
• $W(x,y) \sim xy$ の非 $π\mathcal{T}$ 対称モデルでは、虚数ポテンシャルが空間的に局在している限り、基本的およびヴォルテックスオブリオンの安定な族が存在する。
• $xy$ 型虚数ポテンシャルモデルの楕円的変形版において、$m=1$ のヴォルテックスオブリオンに対して正確な解析的解が導出された。
• 両モデルにおける2次元ソリトンの非線形化不能な尾部は、特定のパラメータに依存しない普遍的な解析的形をとる。
• 数値的シミュレーションにより、小さな摂動に対してもソリトン族の安定性が確認され、固有値解析および直接的時間発展シミュレーションによって長期的安定性が裏付けられた。