[論文レビュー] Robust self-testing for linear constraint system games

Andrea Coladangelo, Jalex Stark|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Database Systems and Queries参考文献 18被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 2 に対して、Cleve, Liu, および Slofstra の表現論的枠組みを非アーベル群および ℤ_d に拡張し、線形制約系（LCS）ゲームについて、強固な自己テスト定理を確立する。魔方陣と魔星図ゲームがそれぞれ ℤ_2 上で2対および3対の最大もつれ状態の量子もつれを、ε-強健性の境界とともに一意に自己テストすることを証明し、d ≠ 2 への一般化が不可能であることを示し、非2のべきの局所次元における最大もつれ状態の自己テストに関する重要な未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study linear constraint system (LCS) games over the ring of arithmetic modulo $d$. We give a new proof that certain LCS games (the Mermin--Peres Magic Square and Magic Pentagram over binary alphabets, together with parallel repetitions of these) have unique winning strategies, where the uniqueness is robust to small perturbations. In order to prove our result, we extend the representation-theoretic framework of Cleve, Liu, and Slofstra (Journal of Mathematical Physics 58.1 (2017): 012202.) to apply to linear constraint games over $\mathbb{Z}_d$ for $d\geq 2$. We package our main argument into machinery which applies to any nonabelian finite group with a ''solution group'' presentation. We equip the $n$-qubit Pauli group for $n\geq 2$ with such a presentation; our machinery produces the Magic Square and Pentagram games from the presentation and provides robust self-testing bounds. The question of whether there exist LCS games self-testing maximally entangled states of local dimension not a power of $2$ is left open. A previous version of this paper falsely claimed to show self-testing results for a certain generalization of the Magic Square and Pentagram mod $d eq 2$. We show instead that such a result is impossible.

研究の動機と目的

• d ≥ 2 に対して、Cleve, Liu, および Slofstra の表現論的枠組みを ℤ_d 上のLCSゲームに拡張すること。
• ℤ_2 上のメルミン–ペレスの魔方陣および魔星図ゲームについて、強健な自己テスト定理を確立すること。
• LCSゲームが、2のべきでない局所次元の最大もつれ状態を自己テストできるかどうかという問題を解決すること。
• 魔方陣および星図ゲームの d ≠ 2 への一般化が自己テストを達成できないことを示し、以前の誤った主張を是正すること。

提案手法

• 非アーベル有限群に対して、ℤ_d 上の解群表現を持つ解群フレームワークを拡張する。
• n ≥ 2 に対して、n-量子もつれゲート群（n-qubit Pauli群）に解群表現を適用し、ℤ_2 上で解群表現を有することを示す。
• 群の図式と標準形を用いて、群の恒等式の証明における生成子および関係の出現回数を制限する。
• 定理B.1を適用し、関係および生成子の頻度に関する境界を用いて、自己テストのε-強健性境界を導出する。
• ねじれ交換関係と部分図置換を用いて、並列反復における複雑さを制御する。
• 群表現の安定性理論と、勝利戦略における表現論的制約を用いて、強健性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≠ 2 に対して ℤ_d 上のLCSゲームは、2のべきでない局所次元 d の最大もつれ状態を自己テストできるか？
• RQ2 ℤ_2 上の魔方陣および魔星図ゲームは、それぞれ2対および3対の最大もつれ状態の量子もつれを、微小な誤差に対して強い意味で一意に自己テストできるか？
• RQ3 すべての既約表現が1次またはd次元であり、J が非自明なd乗単位根に写されるような、ℤ_d 上の解群が存在するか？
• RQ4 どの有限非アーベル群が解群であり得るか？また、それらは自己テスト性を持つ擬似テレパシー・ゲームをサポートできるか？
• RQ5 解群フレームワークを、すべての強健な自己テスト性を持つLCSゲームを捉えるように一般化できるか？

主な発見

• ℤ_2 上の魔方陣ゲームは、ε が勝利確率の誤差であるとき、O(ε) の強健性を有し、2対の最大もつれ状態の量子もつれを強健に自己テストする。
• ℤ_2 上の魔星図ゲームは、ε が勝利確率の誤差であるとき、O(ε) の強健性を有し、3対の最大もつれ状態の量子もつれを強健に自己テストする。
• 魔方陣および星図ゲームのn重並列反復は、n-量子もつれゲート測定およびそれに対応する最大もつれ状態を、O(ε) の強健性で自己テストする。
• d ≠ 2 への魔方陣および星図ゲームの一般化は、代数的障害のため、自己テストを達成できない。
• n ≥ 2 に対して、n-量子もつれゲート群は ℤ_2 上に解群表現を有し、多量子もつれ状態の自己テスト定理の構築を可能にする。
• 本稿は、以前の誤った主張を是正し、d ≠ 2 に対して ℤ_d 上のLCSゲームが、局所次元 d の最大もつれ状態を自己テストできないことを示している。