[論文レビュー] Robust stability and stabilization of uncertain linear positive systems via Integral Linear Constraints: L1- and Linfinity-gains characterization

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 30被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、積分線形制約（ILCs）と線形非負リャプノフ関数を用いて、不確実な線形正のシステムに対するロバスト安定性および安定化フレームワークを提案する。線形供給レートを用いた非効率理論を活用することで、ロバストな線形計画法により$L_1$-および$L_\infty$-ゲインを特徴づけ、ハンドヘルドの定理を用いた有限次元の妥当性問題として、非保守的な解析と制御器設計を可能にする。

ABSTRACT

Copositive linear Lyapunov functions are used along with dissipativity theory for stability analysis and control of uncertain linear positive systems. Unlike usual results on linear systems, linear supply-rates are employed here for robustness and performance analysis using L1- and Linfinity-gains. Robust stability analysis is performed using Integral Linear Constraints (ILCs) for which several classes of uncertainties are discussed. The approach is then extended to robust stabilization and performance optimization. The obtained results are expressed in terms of robust linear programming problems that are equivalently turned into finite dimensional ones using Handelman's Theorem. Several examples are provided for illustration.

研究の動機と目的

• 構造的不確実性を有する不確実な線形正のシステムに対して、非保守的なロバスト性解析手法の不足を解消すること。
• 非負および符号付き入出力を持つシステムに適用可能で、計算効率の良い$L_1$-および$L_\infty$-ゲイン計算のフレームワークを構築すること。
• 完全で構造的かつ有界な状態フィードバック制御器を用いて、性能制約を伴うロバスト安定化を可能にすること。
• ハンドヘルドの定理を用いた緩和により、ロバスト制御問題の有限次元かつ凸な定式化を提供すること。
• 積分線形制約（ILCs）を用いて、線形行列不等式フリーの手法の適用範囲を不確実な正のシステムへ拡張すること。

提案手法

• 正のベクトル$\lambda \gg 0$を用いた線形非負リャプノフ関数$V(x) = \lambda^T x$を用いて、安定性および性能を特徴づける。
• 線形供給レートを用いた非効率理論を適用し、$L_1$-および$L_\infty$-ゲインを定義することで、線形計画法による$L_1$-ゲイン計算を可能にする。
• パラメータ変動型不確実性を固定システムと不確実ブロックの接続としてモデル化するため、線形分数変換（LFTs）を用いる。
• 有理関数的および多項式的依存性を含む複数の不確実性クラスにわたる一様なロバストネス解析を実現するため、積分線形制約（ILCs）を導入する。
• 無限次元のロバストネス条件を有限次元の線形計画問題に緩和するために、ハンドヘルドの定理を適用する。
• $L_1$-および$L_\infty$-ゲインの双対性を活用：あるシステムの$L_\infty$-ゲインは、その転置の$L_1$-ゲインに等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形正のシステムの$L_1$-および$L_\infty$-ゲインは、線形計画法を用いて効率的かつ正確に計算可能か？
• RQ2 有理関数的または多項式的パラメータ依存性を有する不確実な正のシステムに対して、どのようにロバスト安定性を解析できるか？
• RQ3 2次リャプノフ関数に依存しない凸最適化問題として、性能制約を伴うロバスト安定化を定式化できるか？
• RQ4 固定された静的ゲイン行列を有するシステムに対して、提案されたILCベースのフレームワークがどれほど非保守的結果をもたらすか？
• RQ5 緩和スキームにおける高次多項式スケーリングを用いることで、$L_1$-ゲイン推定の保守性を低減できるか？

主な発見

• 線形正のシステムの$L_1$-ゲインは、線形計画法により正確に計算可能であり、システムサイズに比例して計算複雑度が線形に増加する。
• $L_\infty$-ゲインは、システムの転置の$L_1$-ゲインに等しく、同じフレームワークを用いて効率的に計算可能である。
• パラメータ依存行列を有する例では、正確な$L_1$-ゲインは92.8358、正確な$L_\infty$-ゲインは82.0249であり、後者は2次多項式スケーリングを用いて正確に推定されている。
• 2次多項式スケーリングを用いることで、$L_1$-ゲイン推定の保守性が低減し、1次（94.167）から2次（82.025）に精度が向上した。
• 固定された静的ゲイン行列を有する線形時不変（LTI）正の不確実性に対して、提案手法は非保守的結果をもたらす。
• 性能制約を伴うロバスト安定化は、ハンドヘルドの定理を用いた有限次元の緩和により、ロバスト線形計画問題として定式化可能である。