[論文レビュー] Robust uncertainty sensitivity analysis

Daniel Bartl, Samuel Drapeau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、分布の不確実性をモデル化するためにWassersteinボールを用いた、非パラメトリックなロバスト感度分析フレームワークを提案する。価値関数および最適化子に対する明示的な1次補正を導出し、LASSO回帰、オプションプライシング、ニューラルネットワークのロバスト性への応用が可能となり、定量的感度指標が得られる。

ABSTRACT

We consider sensitivity of a generic stochastic optimization problem to model uncertainty. We take a non-parametric approach and capture model uncertainty using Wasserstein balls around the postulated model. We provide explicit formulae for the first order correction to both the value function and the optimizer and further extend our results to optimization under linear constraints. We present applications to statistics, machine learning, mathematical finance and uncertainty quantification. In particular, we provide explicit first-order approximation for square-root LASSO regression coefficients and deduce coefficient shrinkage compared to the ordinary least squares regression. We consider robustness of call option pricing and deduce a new Black-Scholes sensitivity, a non-parametric version of the so-called Vega. We also compute sensitivities of optimized certainty equivalents in finance and propose measures to quantify robustness of neural networks to adversarial examples.

研究の動機と目的

• パラメトリック仮定を用いない、確率的最適化におけるモデル不確実性に対処すること。
• 分布の摂動の影響を定量化する非パラメトリックな感度分析手法を開発すること。
• Wasserstein不確実性の下で、価値関数および最適化子に対する明示的な1次補正を導出すること。
• 線形制約下の最適化にこのフレームワークを拡張すること。
• 統計、機械学習、ファイナンス、敵対的ロバスト性における実用的な感度指標を提供すること。

提案手法

• モデル不確実性は、仮定された確率分布を中心とするWassersteinボールを用いて記述する。
• Wassersteinボール内での小さな摂動の下で、価値関数および最適化子の1次漸近展開を導出する。
• 双対性および変分法を活用して、分布シフトに対する感度を計算する。
• ラグランジュ緩和を用いて、制約付き最適化問題へとフレームワークを拡張する。
• LASSO回帰やオプションプライシングを含む主な応用に対して、明示的な公式を導出する。
• 1次補正から、非パラメトリックなベガやニューラルネットワークのロバスト性指標といった感度指標を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる分布のモデル不確実性が、確率的最適化問題の最適値および解にどのように影響するか？
• RQ2 真の分布が名目モデルの周囲のWassersteinボール内にある場合、価値関数および最適化子に対する1次補正は何か？
• RQ3 この感度フレームワークをLASSO回帰に応用することで、係数の縮小を軽減し、ロバスト性を向上させられるか？
• RQ4 このアプローチにより、分布不確実性下でのオプションプライシングにおける非パラメトリックなベガの類似物を得られるか？
• RQ5 この感度分析を用いて、敵対的例に対するニューラルネットワークのロバスト性をどのように定量的に評価できるか？

主な発見

• 双対性および変分法を用いて、Wasserstein不確実性下での価値関数および最適化子の1次補正が明示的に導出された。
• 平方根LASSO回帰では、通常最小二乗法と比較して係数の縮小が分布不確実性の感度によって定量的に明らかになった。
• フレームワークから自然に、ボラティリティ分布への感度である非パラメトリックなベガの類似物が出現した。
• 金融意思決定における最適化された確実性同等の感度が、このフレームワークによって計算可能となった。
• 入力摂動に対する1次感度に基づいて、敵対的例に対するニューラルネットワークのロバスト性指標が提案された。
• 統計、機械学習、数学的ファイナンスの分野における不確実性の定量化の統一的アプローチが提供された。