[論文レビュー] Robust Utility Maximization in a Multivariate Financial Market with Stochastic Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フィルタリング技術から導かれる時間に依存する不確実性集合を組み合わせた最悪ケース最適化と、確率的ドリフトを伴う多変量金融市場におけるロバストなユーティリティ最大化フレームワークを提案する。局所最適化問題におけるミニマックス定理を確立し、モデルの不適合が生じる状況において、ロバストな戦略が非ロバストな戦略を著しく上回ることを示している。特に追加の情報が利用可能な場合に顕著である。

ABSTRACT

We study a utility maximization problem in a financial market with a stochastic drift process, combining a worst-case approach with filtering techniques. Drift processes are difficult to estimate from asset prices, and at the same time optimal strategies in portfolio optimization problems depend crucially on the drift. We approach this problem by setting up a worst-case optimization problem with a time-dependent uncertainty set for the drift. Investors assume that the worst possible drift process with values in the uncertainty set will occur. This leads to local optimization problems, and the resulting optimal strategy needs to be updated continuously in time. We prove a minimax theorem for the local optimization problems and derive the optimal strategy. Further, we show how an ellipsoidal uncertainty set can be defined based on filtering techniques and demonstrate that investors need to choose a robust strategy to be able to profit from additional information.

研究の動機と目的

• ドリフト推定の不確実性に起因するポートフォリオ最適化の課題に対処すること。ドリフトは歴史的データから推定することが難しく、最適戦略に大きな影響を及える。
• 時間的に変化するドリフトプロセスの不確実性を最悪ケースのアプローチで扱うロバスト最適化フレームワークを構築すること。
• リターンや専門家の意見などの流入情報に基づき、動的に不確実性集合を更新するためのフィルタリング技術を統合すること。
• 局所最悪ケース最適化から導かれるロバスト戦略が、フィルタリングされたドリフト推定に基づく非ロバスト戦略を上回ることを示すこと。特にモデルの不適合が生じる状況で顕著である。
• 投資家が点推定に基づくドリフト推定に依存するのではなく、ロバスト戦略を採用する場合にのみ、追加の情報が投資パフォーマンスを向上させることを示すこと。

提案手法

• 各時刻 t において、時間に依存する不確実性集合 Kt 内の最悪のドリフトプロセスを仮定した局所最悪ケース最適化問題を定式化する。
• 投資家のフィルタレーションに適応する時間に依存する楕円型不確実性集合 Kt を、隠れたドリフトプロセスをフィルタリングすることで導出する。
• ミニマックス定理を適用して局所最適化問題を解き、各時刻 t における最適ロバスト戦略 π∗t を導出する。
• 確率的フィルタリングを用いてドリフトプロセスの条件付き平均を推定し、不確実性集合 Kt の構築に活用する。
• ドリフトプロセスを dRt = νt dt + σ dWt の形のdiffusion過程としてモデル化する。ここで νt は投資家のドリフト推定値である。
• 10,000回のモンテカルロシミュレーションを実施し、異なる情報設定（N, R, E, C）と戦略（π∗, ˆπ）における期待ユーティリティを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最悪ケース最適化フレームワークを、時間的に変化する確率的ドリフトプロセスを伴う金融市場にどのように適応できるか。
• RQ2 ドリフトに関する不確実性が時間に依存する楕円型不確実性集合として表現される場合、最適戦略は何か。
• RQ3 モデルの不適合が生じる状況において、ロバスト戦略とフィルタリングされたドリフト推定に基づく非ロバスト戦略のパフォーマンスはどのように比較できるか。
• RQ4 追加の情報（例：リターンや専門家の意見）が投資パフォーマンスを向上させるか。どのような条件下でそれが成立するか。
• RQ5 ドリフト推定値への過信が、最悪ケースシナリオにおいて劣悪なパフォーマンスをもたらす程度はどの程度か。

主な発見

• モデルのみの設定（H = N）では、最悪ケース期待ユーティリティ Eµ∗[Uγ(Xπ∗T)] が最小で 1.6179 となり、追加の情報（例：10名の専門家意見による H = C では 1.7854）が加わると著しく上昇する。
• フィルタリングされたドリフト推定に基づく非ロバスト戦略 ˆπ は、真のドリフト ν の下では最も良好に機能し（H = N の下で平均ユーティリティ 2.0426）、しかし最悪ケースドリフト µ∗ の下では著しく劣化し、H = R の下で平均ユーティリティはわずか 0.7754 にまで低下する。
• ロバスト戦略 π∗ は最悪ケースシナリオにおいて一貫して ˆπ を上回り、Eµ∗[Uγ(Xπ∗T)] の値は H = N の 1.6179 から H = C の 1.7854 まで変動する。これは、安定性を確保するためのロバスト化が不可欠であることを示している。
• 期待ユーティリティの標本標準偏差は、π∗ では著しく低い（例：H = C の下で 0.4027）一方、ˆπ では非常に高い（H = C の下で 134.5858）ため、ロバスト戦略は不確実性下ではるかに安定していることが示された。
• リターン観測値と離散的な専門家の意見（H = C）の組み合わせが、最悪ケース期待ユーティリティを最大の 1.7854 にまで引き上げ、情報がロバストパフォーマンスを向上させることを実証した。
• 結果から、ドリフト推定値への過信が最悪ケースパフォーマンスを劣悪化させることを確認し、追加の情報が利用可能であっても、ロバスト戦略の導入が不可欠であることが裏付けられた。