[論文レビュー] Robustly invariant sets in fibre contracting bundle flows

Oliver Butterley, Carlangelo Liverani|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特にジェット空間を用いたアノソフフローへの応用を通じて、ファイバー束のフローにおける一様不変近傍の存在に関する抽象的条件を確立する。安定多様体の近似が小さな摂動のもとでも不変のままであることを証明し、相関スペクトルとアノソフフローの安定性に関する先行研究における欠陥を是正する。

ABSTRACT

We provide abstract conditions which imply the existence of a robustly invariant neighbourhood of a global section of a fibre bundle flow. We then apply such a result to the bundle flow generated by an Anosov flow when the fibre is the space of jets (which are described by local manifolds). As a consequence we obtain sets of manifolds (e.g. approximations of stable manifolds) that are left invariant, {\bf for all} negative times, by the flow and its small perturbations. Finally, we show that the latter result can be used to easily fix a mistake recently uncovered in the paper {\em Smooth Anosov flows: correlation spectra and stability}, \cite{BuL}, by the present authors.

研究の動機と目的

• ファイバー束フローのグローバルセクションが一様不変近傍をもつ一般条件を確立すること。
• 連続時間力学系における小時間の双曲的性の崩壊という課題に取り組むこと、特にフローに対して。
• 抽象的枠組みをジェット空間をファイバーとするアノソフフローに適用し、近似安定多様体の不変集合を構成すること。
• バターリーとリヴァーニ（2012）の論文における重大な誤りを是正すること、すなわち、補題7.2で「すべての $ t \geq 0 $」に対して不変性が成り立つと誤って主張していたが、実際には正の閾値を超えた $ t $ のみで成立する。
• 是正された枠組みが、元の論文のすべての結果を保持することを示し、そのスペクトル的および安定性解析の妥当性を保証すること。

提案手法

• ファイバー束 $ (E,B,\pi,F) $ 上のフロー $ \Psi^t $ を導入し、リプシッツ連続なグローバルセクション $ s $ と不変なコンパクト集合 $ E_0 $ を仮定する。
• フローに、最終的不変性（$ \Psi^{t_0}E_0 \subseteq E_0 $）およびファイバー内での一様収縮・拡張性を保証する条件を課す。
• 持ち上げられた力学系における錐場の議論を用い、小さな摂動に対しても厳密に不変な錐の族を構成する。
• アノソフフローのジェットバンドルに理論を適用し、ファイバーが局所多様体のジェットを表すようにすることで、近似不安定・安定多様体の不変集合を構成可能にする。
• スペクトル的性質を制御するため、$ \mathscr{B}^{p,q} $-型ノルムに基づくバナッハ空間上の移動作用素技法を用いる。
• すべての $ t \geq 0 $ で一様指数的収縮・拡張性を示す $ \mathscr{C}^r $ リーマン計量 $ \|\cdot\|_1 $ を構成し、小時間における非一様性の問題を解決する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン計量の滑らかさと収縮性の弱い仮定のもとで、ファイバー束フローのグローバルセクションに一様不変近傍を構成できるか？
• RQ2 アノソフフローにおける小時間の双曲的性の崩壊という一般的な問題が、摂動下での近似安定多様体の不変集合の構成を妨げるか？
• RQ3 バターリーとリヴァーニ（2012）の補題7.2における誤った不変性主張を、ファイバー束フローの一般枠組みを用いて是正できるか？
• RQ4 アノソフフローに、すべての $ t \geq 0 $ で微分写像が一様指数的収縮・拡張性を示す滑らかなリーマン計量を定義できるか、特に $ t \geq t_0 > 0 $ のみで成立するものではないか？
• RQ5 是正された枠組みが、元の論文におけるアノソフフローの相関スペクトルに関するスペクトル的および安定性結果を保持できるか？

主な発見

• 最終的不変性および一様錐収縮性を仮定した抽象的条件のもとで、グローバルセクションの不変近傍の存在が確立される。
• アノソフフローに対しては、すべての $ t \geq 0 $ で不変である近似安定多様体の集合が構成可能であり、これは $ t \geq t_0 $ のみで成立するという制限を克服する。
• バターリーとリヴァーニ（2012）の補題7.2における重大な誤りが是正され、不変性が「すべての $ t \geq 0 $」で成り立つと主張されていたが、実際には $ t \geq t_0 > 0 $ のみで成立する。是正された枠組みにより、元の論文のスペクトル解析全体の妥当性が回復される。
• 移動作用素の本質的スペクトル半径は $ (a + \bar{p}\lambda)^{-1} $ で抑えられ、$ \|\cdot\|_{p,q} $-ノルムと $ \epsilon $-球による被覆議論により明示的な制御が可能である。
• $ \mathscr{C}^r $ リーマン計量 $ \|\cdot\|_1 $ が構成され、すべての $ t \geq 0 $ で $ \|DT_t v\|_1 \geq e^{\sigma t} \|v\|_1 $（$ \sigma > 0 $）を満たす。これにより、小時間における双曲的性の問題が解決される。
• 新しい計量は元の計量と一様同値であり、[2, 条件2]を満たすため、元の論文における摂動理論の適用が保証される。