[論文レビュー] Robustness of the pathwise structure of fluctuations in stochastic homogenization

Mitia Duerinckx, Antoine Gloria+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、強い相関を持つランダム係数を有する一般非対称楕円系に対して、均質化の交換子の2スケール展開の精度を拡張することにより、確率的均質化におけるフラクチュエーションの経路に依存する構造のロバスト性を確立する。主な結果は、弱い混合条件のもとでも、解場およびフラックスの大スケールフラクチュエーションが、交換子のフラクチュエーションによって駆動されることを示しており、多様な確率的設定においてこの経路に依存する構造の普遍性を確認する。

ABSTRACT

We consider a linear elliptic system in divergence form with random coefficients and study the random fluctuations of large-scale averages of the field and the flux of the solution operator. In the context of the random conductance model, we developed in a previous work a theory of fluctuations based on the notion of homogenization commutator: we proved that the two-scale expansion of this special quantity is accurate at leading order in the fluctuation scaling when averaged on large scales (as opposed to the two-scale expansion of the solution operator taken separately) and that the large-scale fluctuations of the field and the flux of the solution operator can be recovered from those of the commutator. This implies that the large-scale fluctuations of the commutator of the corrector drive all other large-scale fluctuations to leading order, which we refer to as the pathwise structure of fluctuations in stochastic homogenization. In the present contribution we extend this result in two directions: we treat continuum elliptic (possibly non-symmetric) systems and allow for strongly correlated coefficient fields (Gaussian-like with a covariance function that can display an arbitrarily slow algebraic decay at infinity). Our main result shows in this general setting that the two-scale expansion of the homogenization commutator is still accurate to leading order when averaged on large scales, which illustrates the robustness of the pathwise structure of fluctuations.

研究の動機と目的

• 確率的均質化におけるフラクチュエーションの経路に依存する構造を、確率的コンダクタンスモデルを超えて一般線形楕円系へ一般化すること。
• 長距離相関を含む弱い混合条件下でも、均質化交換子の2スケール展開の精度を確立すること。
• 交換子のフラクチュエーションが、システム内の他のすべてのフラクチュエーションを支配することを示し、経路に依存する構造のロバスト性を確認すること。
• 理論を非対称系および任意に遅い減衰を示す多スケール関数不等式を満たす係数場へ拡張すること。
• 一般のエルゴード的および混合仮定のもとで、高次フラクチュエーション理論およびスケーリング極限解析の基礎を提供すること。

提案手法

• 大スケールフラクチュエーションを記述する中心的対象として均質化交換子を用い、漸近的解析にその2スケール展開を活用する。
• 弱い混合条件下での交換子および関連量のモーメントと尾部挙動を制御するために、多スケール関数不等式（LSI）を適用する。
• フラクチュエーション成分の正則性および可積分性を推定するために、重み付きCalderón-Zygmund理論と Hölder の不等式を用いる。
• 係数場の定常性およびエルゴード性を用いて、正規化子およびその勾配のモーメントバウンドを導出する。
• 重尾挙動を示す確率変数の積を制御するために、FKG型不等式 (4.6) を用いた確率的モーメントバウンドを適用する。
• スケーリング議論および場のスケーリング（例：$ f o ilde{f}_ u $）を組み合わせることで、スケール間で一様な推定を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に依存するフラクチュエーション構造（交換子が他のすべてのフラクチュエーションを駆動する）は、非対称な確率的コンダクタンスモデルを超えて拡張可能か？
• RQ2 係数場に長距離相関がある場合、均質化交換子の2スケール展開はどのように振る舞うか？
• RQ3 非対称楕円系および弱い混合条件下でも、経路に依存する構造はロバストか？
• RQ4 交換子が大スケールフラクチュエーションを正確に記述するためには、どのようなモーメントおよび可積分性の性質が必要か？
• RQ5 多スケール関数不等式は、強い混合が存在しない状況でもフラクチュエーションモーメントをどのように制御可能にするか？

主な発見

• 非対称系に対しても、大スケールで平均化された状態では、均質化交換子の2スケール展開が一次の精度を保つ。
• 解場およびフラックスの大スケールフラクチュエーションは、交換子のフラクチュエーションによって完全に駆動され、経路に依存する構造が確認される。
• 任意に遅い減衰を示す多スケール関数不等式のもとでも理論が成立し、教科書 [20] に記載されたすべての異種材料モデルをカバーする。
• FKG型不等式および重み付きCalderón-Zygmund推定により、交換子および正規化子のモーメントバウンドが確立される。
• ガウス過程の共分散がゆっくり減衰するような場合にも、係数場が長距離相関を示す状況においても、経路に依存する構造のロバスト性が示される。
• 結果として得られた理論は、交換子のスケーリング極限および高次フラクチュエーション理論の基礎を提供する。詳細は後続の研究 [5] で詳述されている。