[論文レビュー] Rogozin's convolution inequality for locally compact groups

Mokshay Madiman, James Melbourne+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 38被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、局所コンpakto群へのロゴジンの畳み込み不等式の一般化を行い、$\mathbb{R}^d$ 上の確率密度関数の畳み込みの本質的上界について鋭い上界を確立する。極値測度論と幾何不等式（特にボールの立方体切断境界の新規一般化）を用いて、$\infty$-Rényiエントロピーのパワー不等式と、積測度の射影に関する周辺境界を統一的かつ鋭く扱い、次元および射影幾何に依存する明示的な定数を導出する。

ABSTRACT

General extensions of an inequality due to Rogozin, concerning the essential supremum of a convolution of probability density functions on the real line, are obtained. While a weak version of the inequality is proved in the very general context of Polish $σ$-compact groups, particular attention is paid to the group \(\mathbb{R}^d\), where the result can combined with rearrangement inequalities for certain linear images for a strong generalization. As a consequence, we obtain a unification and sharpening of both the \(\infty\)-Renyi entropy power inequality for sums of independent random vectors, due to Bobkov and Chistyakov, and the bounds on marginals of projections of product measures due to Rudelson and Vershynin (matching and extending the sharp improvement of Livshyts, Paouris and Pivovarov). The proof is elementary and relies on a characterization of extreme points of a class of probability measures in the general setting of Polish measure spaces, as well as the development of a generalization of Ball's cube slicing bounds for products of \(d\)-dimensional Euclidean balls (where the "co-dimension 1" case had been recently settled by Brzezinski).

研究の動機と目的

• ロゴジンの古典的畳み込み不等式（元々は$\mathbb{R}$ 上の密度関数に対して）を、特に局所コンパクト群を含むポーランド$\sigma$-コンパクト群のより広い設定に拡張すること。
• 独立した$\mathbb{R}^d$ 値確率変数の畳み込みの本質的上界について、個々の密度関数の$L^\infty$ ノルムを用いて鋭い上界を確立すること。
• $\infty$-Rényiエントロピーのパワー不等式（Bobkov-Chistyakov）と、積測度の射影に関する周辺境界（Rudelson-Vershynin、およびLivshyts-Paouris-Pivovarovによる拡張）という、情報理論と凸幾何学における2つの主要な結果を統一・強化すること。
• ポーランド測度空間における極値測度と幾何不等式（特に$d$次元ユークリッド球の積に対するボールの立方体切断不等式の新規一般化）を用いた一般枠組みを提供すること。
• 次元に依存する明示的な定数を導出し、$d=1$ や$d\to\infty$ の極限状況で既知の鋭い境界と一致する最適な定数を得ること。

提案手法

• 弱-*位相とRadon-Nikodym微分を用いて、ポーランド測度空間内の確率測度のクラスの極値点を特徴づけ、$M(\mu)$ を密度関数の$L^\infty$ ノルムに関連付ける。
• ユークリッド空間における線形写像の最大値に関する一般化された再配分不等式を適用し、畳み込みの本質的上界を入力密度関数の$L^\infty$ ノルムに関連付ける。
• 最適定数を有するBrascamp–Lieb型不等式を用いて、線形射影下での独立した確率変数ベクトルの畳み込みの$L^\infty$ ノルムを評価する。
• 本質的上界について2つの競合する上界を導出する：1つは$d$次元ユークリッド球の体積に基づくもの、もう1つは射影行列の核に関する双対的幾何的議論に基づくもの。
• 両方の上界をミニマックス構成により組み合わせ、定理1.1における鋭い定数$c(d,k)$を導出する。この定数は$d$、$k$、$n$ に依存する。
• 主不等式をRényiエントロピーおよびエントロピー・パワーの観点から再解釈し、独立した確率変数ベクトルの射影の$\infty$-Rényiエントロピー・パワーの下界として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立した$\mathbb{R}^d$ 値確率密度関数の畳み込みの本質的上界について、個々の密度関数の$L^\infty$ ノルムが与えられたとき、その鋭い上界は何か？
• RQ2 ロゴジンの不等式は、$\mathbb{R}$ から任意の局所コンパクト群へどのように一般化可能か？また、最小限の位相的および測度論的仮定は何か？
• RQ3 $\infty$-Rényiエントロピーのパワー不等式（独立した確率変数ベクトルの和に関して）を鋭くし、積測度の射影に関する周辺境界と統合できるか？
• RQ4 独立した$d$次元確率変数ベクトルの射影に関する一般化ロゴジン不等式における最適定数は何か？また、$d$、$k$、$n$ にどのように依存するか？
• RQ5 幾何不等式（特にボールの立方体切断境界の一般化）は、対称な凸体に関する畳み込み不等式における鋭い定数の導出にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は鋭い不等式を確立する：独立した$\mathbb{R}^d$ 値確率変数ベクトル$X_i$ と$k$次元部分空間への射影$P$ に対して、$M(P\otimes I_d(X)) \leq c(d,k) \prod_{i=1}^n M^{\gamma_i}(X_i)$ が成り立ち、ここで$\sum \gamma_i = k$ であり、$c(d,k)$ は明示的に与えられる。
• 定数$c(d,k)$ は2つの項の最小値として与えられる：1つは$d$次元球の体積とガンマ関数を含み、もう1つは比$n/(n-k)$ を含む。後者は$n-k$ が大きい場合に支配的になる。
• $d=1$ の場合、定数は$\min\{2^{k/2}, (n/(n-k))^{(n-k)/2}\}$ に簡略化され、$\infty$-Rényiエントロピーのパワー不等式における既知の鋭い境界と一致する。
• 情報理論的表現において、不等式は$N_\infty(P^{(d)}(X)) \geq \max\left(\left(\frac{m}{n}\right)^{m/k}, \frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}\right) \prod_{i=1}^n N_\infty^{t_i}(X_i)$ を導く。ここで$m = \dim(\ker P)$ であり、次元に依存しない項と$d$ に依存する項の二重性が現れる。
• 定数$\frac{\Gamma^{2/d}(1+d/2)}{1+d/2}$ は$d \to \infty$ のとき$1/e$ に収束し、BobkovとChistyakovの不等式における鋭い定数を回復する。
• 整数値確率変数への拡張が提示される：$M(X_i) \leq 1/k$ を満たす整数値確率変数に対して、$n>2$ のとき$M(X_1+\cdots+X_n) < \sqrt{6/(\pi(k^2-1)n)}$ が成り立つ。これはMattnerとRoosの結果を一般化する。