[論文レビュー] Rolling balls over spheres in R^n

Božidar Jovanović|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

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ひとこと要約

本稿は、R^n 内の固定された (n−1)-次元球面の上を滑らかに滑ることなく、ねじれもなく転がるチャプロジンの球の運動を、3次元の非ホロノミック系を高次元に一般化して研究する。特定の慣性作用素に対してチャプロジンの還元乗数を用いて、還元された系のハミルトニアン化を証明し、SO(n)-対称な設定における可積分性条件と不変測度を確立する。

ABSTRACT

We study the rolling of the Chaplygin ball in $\mathbb R^n$ over a fixed $(n-1)$--dimensional sphere without slipping and without slipping and twisting. The problems can be naturally considered within a framework of appropriate modifications of the L+R and LR systems -- well known systems on Lie groups groups with an invariant measure. In the case of the rolling without slipping and twisting, we describe the $SO(n)$-Chaplygin reduction to $S^{n-1}$ and prove the Hamiltonization of the reduced system for a special inertia operator.

研究の動機と目的

• 3次元のラバーチャプロジンの球の問題を R^n に一般化し、固定された (n−1)-次元球面上での滑らかに滑ることなく、ねじれもなく転がる運動を研究すること。
• リー群上の修正された L+R および LR 系の枠組みでこの系を定式化し、既知の非ホロノミック力学を高次元に拡張すること。
• 特定の慣性作用素の条件下で、転がり系に不変測度が存在することを証明すること。
• 特定の慣性作用素に対して、チャプロジン還元乗数を用いて T*S^{n−1} 上の還元された系がハミルトニアン化されることを示すこと。
• 特に ε = −1 または対称行列 A の場合に、還元された系が可積分となる条件を同定すること。

提案手法

• SO(n) 対称性と配置空間 SO(n) × S^{n−1} を用いて転がり運動をモデル化し、非ホロノミック制約を TSO(n) × S^{n−1} に微分同相である分布として符号化する。
• ε 修正 L+R 系を導入し、ε = σ/(σ ± ρ) とし、転がり球と固定球の幾何学的関係を関連付ける。
• 系に不変測度を導出し、慣性作用素 I(E_i ∧ E_j) = (D a_i a_j)/(D − a_i a_j) E_i ∧ E_j に対して簡略化されることを示す。ここで D = mρ² である。
• SO(n) 対称性をチャプロジン還元により削減し、余接 bundle T*S^{n−1} 上の力学を導出する。
• チャプロジン乗数 ν = ε(Aγ, γ)^{1/(2ε)−1} を用いた時間再パrametrization を構成し、系を T*S^{n−1} 上のハミルトニアン系に変換する。
• 変換されたシンプレクティック構造の下で、還元された力学がハミルトニアン方程式を満たすことを検証し、特殊な慣性作用素に対するハミルトニアン化を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n 内の固定された (n−1)-次元球面上を滑らかに滑ることなく、ねじれもなく転がるチャプロジンの球の運動を、3次元から高次元に一般化できるか？
• RQ2 T*S^{n−1} 上の還元された系に不変測度が存在するか？ そして、慣性作用素にどのような条件下で存在するか？
• RQ3 特定の慣性作用素に対して、チャプロジン還元乗数を用いて、還元された非ホロノミック系がハミルトニアン化可能か？
• RQ4 ε と行列 A がどのような値のとき、還元された系が可積分となり、どのような対称性がこれを可能にするか？
• RQ5 慣性作用素 I(E_i ∧ E_j) = (D a_i a_j)/(D − a_i a_j) E_i ∧ E_j が、力学と測度構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 滑らかに滑ることなく、ねじれもなく S^{n−1} 上を転がる系は、ε = σ/(σ ± ρ) を用いた ε 修正 L+R 系として記述され、3次元の場合の一般化である。
• 指定された慣性作用素 I(E_i ∧ E_j) = (D a_i a_j)/(D − a_i a_j) E_i ∧ E_j に対して、系に不変測度が存在し、簡略化された形を取る。ここで D = mρ² である。
• T*S^{n−1} 上の還元された系は、チャプロジン還元乗数 ν = ε(Aγ, γ)^{1/(2ε)−1} を用いてハミルトニアン化可能であり、非ホロノミックな流れをハミルトニアン系に変換する。
• T*S^{n−1} 上のハミルトニアンベクトル場は、乗数 ν を用いて元の非ホロノミックベクトル場に比例するため、ハミルトニアン化が確認される。
• ε = −1 かつ任意の対称行列 A の場合、または ε ≠ −1 で A に追加の対称性がある場合、還元された系は完全可積分である。
• 不変トーラス上の系の力学は、Φ > 0 である関数 Φ(φ_1,…,φ_m) を用いて ˙φ_i = ω_i / Φ(φ_1,…,φ_m) の形の準周期的運動を示し、オイラー＝ヤコビ可積分性と整合的である。