[論文レビュー] Rolling Manifolds: Intrinsic Formulation and Controllability

Yacine Chitour, Petri Kokkonen|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 32被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、Levi-Civita接続と制御理論を用いて、回転するがスピンしない（NS）および滑らかに転がる（R）多様体の内在的幾何的定式化を提供する。滑らかに転がる（R）系が完全に可制御であるための必要十分条件は、曲率がゼロの場合に限り、(M,g) のホロノミー群が SO(n) であることであると示され、非ゼロ曲率の場合には、可制御性を特徴付けるために新しい「回転曲率テンソル」と「回転接続」を導入する。さらに、3次元における非可制御性は、ワーパード積と接触構造を用いて分類される。

ABSTRACT

In this paper, we consider two cases of rolling of one smooth connected complete Riemannian manifold $(M,g)$ onto another one $(\hM,\hg)$ of equal dimension $n\geq 2$. The rolling problem $(NS)$ corresponds to the situation where there is no relative spin (or twist) of one manifold with respect to the other one. As for the rolling problem $(R)$, there is no relative spin and also no relative slip. Since the manifolds are not assumed to be embedded into an Euclidean space, we provide an intrinsic description of the two constraints "without spinning" and "without slipping" in terms of the Levi-Civita connections $ abla^{g}$ and $ abla^{\hg}$. For that purpose, we recast the two rolling problems within the framework of geometric control and associate to each of them a distribution and a control system. We then investigate the relationships between the two control systems and we address for both of them the issue of complete controllability. For the rolling $(NS)$, the reachable set (from any point) can be described exactly in terms of the holonomy groups of $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ respectively, and thus we achieve a complete understanding of the controllability properties of the corresponding control system. As for the rolling $(R)$, the problem turns out to be more delicate. We first provide basic global properties for the reachable set and investigate the associated Lie bracket structure. In particular, we point out the role played by a curvature tensor defined on the state space, that we call the \emph{rolling curvature}. In the case where one of the manifolds is a space form (let say $(\hM,\hg)$), we show that it is enough to roll along loops of $(M,g)$ and the resulting orbits carry a structure of principal bundle which preserves the rolling $(R)$ distribution. In the zero curvature case, we deduce that the rolling $(R)$ is completely controllable if and only if the holonomy group of $(M,g)$ is equal to SO(n). In the nonzero curvature case, we prove that the structure group of the principal bundle can be realized as the holonomy group of a connection on $TM\oplus \R$, that we call the rolling connection. We also show, in the case of positive (constant) curvature, that if the rolling connection is reducible, then $(M,g)$ admits, as Riemannian covering, the unit sphere with the metric induced from the Euclidean metric of $\R^{n+1}$. When the two manifolds are three-dimensional, we provide a complete local characterization of the reachable sets when the two manifolds are three-dimensional and, in particular, we identify necessary and sufficient conditions for the existence of a non open orbit. Besides the trivial case where the manifolds $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ are (locally) isometric, we show that (local) non controllability occurs if and only if $(M,g)$ and $(\hM,\hg)$ are either warped products or contact manifolds with additional restrictions that we precisely describe. Finally, we extend the two types of rolling to the case where the manifolds have different dimensions.

研究の動機と目的

• Levi-Civita接続を用いて、座標に依存しない、回転しないがスピンしない状態の多様体の内在的定式化を提供すること。
• 幾何的制御理論を用いて、回転しないがスピンしない（NS）および回転する（R）系の可制御性を分析すること。
• 特に非ゼロ曲率の場合に、回転系の到達可能集合を特徴付けること。
• 3次元多様体における局所的および大域的可制御性の必要十分条件を同定すること。
• 異なる次元の多様体への回転フレームワークの拡張すること。

提案手法

• 状態空間 Q を、M および M̂ 上の正規直交フレームの主 bundle として定式化し、自然な bundle 構造を備える。
• Levi-Civita接続 ∇g および ∇ĝ を用いて、2つの分布 DNS（スピンなし）および DR（回転）を定義する。
• DR のリー括弧構造を支配する状態空間 Q 上の「回転曲率テンソル」を導入する。
• DR 軌道の構造を決定するホロノミー群を有する、TM ⊕ R 上の「回転接続」を構成する。
• リー括弧の計算と曲率の恒等式を用いて、DR の軌道構造および可積分性を分析する。
• Ambrose の定理および空間形式に関する結果を適用し、1つの多様体が空間形式である場合の可制御性を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかに転がる（R）系が完全に可制御である条件は何か？
• RQ2 回転曲率テンソルは、回転系のリー括弧構造および軌道幾何にどのように影響するか？
• RQ3 (M,g) のホロノミー群は、回転（R）系の可制御性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 3次元において局所的非可制御性が生じるのはいつで、どのような幾何的構造（例：ワーパード積、接触多様体）がその原因となるか？
• RQ5 回転問題を異なる次元の多様体へどのように一般化できるか？

主な発見

• スピンしない（NS）問題において、任意の初期状態からの到達可能集合は、(M,g) および (M̂,ĝ) のホロノミー群の積として正確に記述される。
• 曲率がゼロの場合、回転（R）系は、(M,g) のホロノミー群が SO(n) であることと同値に完全に可制御である。
• 非ゼロ曲率の場合、DR 軌道の構造群は、TM ⊕ R 上の新しい接続「回転接続」のホロノミー群として実現される。
• 回転接続が可約であり、標的多様体が正の曲率の空間形式である場合、(M,g) は n 次元球面をリーマン被覆として持つ。
• 3次元において、局所的非可制御性は、(M,g) および (M̂,ĝ) が特定の曲率制約を満たすワーパード積または接触多様体である場合に限り生じる。
• 本稿は、3次元における到達可能集合の完全な局所的特徴付けを提供し、等長の場合を除く非開軌道の必要十分条件を同定する。