[論文レビュー] Roman Census: Enumerating and Counting Roman Dominating Functions on Graph Classes

Faisal N. Abu-Khzam, Henning Fernau+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、特殊なグラフクラスにおける最小ローマ支配関数（RDF）の効率的な列挙および数え上げアルゴリズムを提示する。組合せ的構造と分岐規則を活用することで、著しく改善された時間計算量を得ている。区間グラフおよび森において、最適な列挙計算量 O(1.7321^n) を達成しており、既知の下界と一致しており、弦的グラフ、スプリットグラフ、コバイパルティグラフに対してもタイトな境界を提供している。

ABSTRACT

The concept of Roman domination has recently been studied concerning enumerating and counting in F. N. Abu-Khzam et al. (WG 2022). More technically speaking, a function that assigns 0,1,2 to the vertices of an undirected graph is called a Roman dominating function if each vertex assigned zero has a neighbor assigned two. Such a function is called minimal if decreasing any assignment to any vertex would yield a function that is no longer a Roman dominating function. It has been shown that minimal Roman dominating functions can be enumerated with polynomial delay, i.e., between any two outputs of a solution, no more than polynomial time will elapse. This contrasts what is known about minimal dominating sets, where the question whether or not these can be enumerated with polynomial delay is open for more than 40 years. This makes the concept of Roman domination rather special and interesting among the many variants of domination problems studied in the literature, as it has been shown for several of these variants that the question of enumerating minimal solutions is tightly linked to that of enumerating minimal dominating sets, see M. Kanté et al. in SIAM J. Disc. Math., 2014. The running time of the mentioned enumeration algorithm for minimal Roman dominating functions (Abu-Khzam et al., WG 2022) could be estimated as 𝒪(1.9332ⁿ) on general graphs of order n. Here, we focus on special graph classes, as has been also done for enumerating minimal dominating sets before. More specifically, for chordal graphs, we present an enumeration algorithm running in time 𝒪(1.8940ⁿ). It is unknown if this gives a tight bound on the maximum number of minimal Roman dominating functions in chordal graphs. For interval graphs, we can lower this time bound further to 𝒪(1.7321ⁿ), which also matches the known lower bound concerning the maximum number of minimal Roman dominating functions. We can also provide a matching lower and upper bound for forests, which is (incidentally) the same, namely 𝒪^*(√3ⁿ). Furthermore, we present an optimal enumeration algorithm running in time 𝒪^*(∛3ⁿ) for split graphs and for cobipartite graphs, i.e., we can also give a matching lower bound example for these graph classes. Hence, our enumeration algorithms for interval graphs, forests, split graphs and cobipartite graphs are all optimal. The importance of our results stems from the fact that, for other types of domination problems, optimal enumeration algorithms are not always found. Interestingly, we use a different form of analysis for the running times of our different algorithms, and the branchings had to be tailored and tweaked to obtain the intended optimality results. Our Roman dominating functions enumeration algorithm for trees and forests is distinctively different from the one for minimal dominating sets by Rote (SODA 2019).Our approach also allows to give concrete formulas for counting minimal Roman dominating functions on more concrete graph families like paths.

研究の動機と目的

• 制限付きのグラフクラスにおける最小ローマ支配関数のより高速な列挙アルゴリズムの開発。
• 特定のグラフ族における最小RDFの数の既知の下界と上界の差を埋める。
• パスおよびその他の構造的グラフにおける最小RDFの正確な数え上げ式の提供。
• ローマ支配の拡張問題が多項式時間で解けることにより、特別なグラフクラスにおいて効率的な列挙が可能かどうかの調査。

提案手法

• 最小RDFの解空間を体系的に探索するため、削減規則と分岐規則の組み合わせを適用。
• 単体的頂点、端点、近傍包含などのグラフ構造的性質を活用して規則の設計。
• グラフクラスに特化した分岐規則の設計：例えば、森や区間グラフでは木構造や区間構造を活用。
• 再帰的分解と近傍解析を用いて、最小RDFの数に対するタイトな上界を導出。
• ローマ支配の拡張問題が既知で多項式時間で解けることを利用して、出力に依存する列挙の基盤を構築。
• パスにおける最小RDFの数え上げの再帰的公式を導出し、正確な列挙と解析を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般グラフよりも特別なグラフクラスにおいて、最小ローマ支配関数の数をより効率的に列挙できるか？
• RQ2 区間グラフ、森、弦的グラフ、スプリットグラフ、コバイパルティグラフにおける最小RDFの数のタイトな上界と下界は何か？
• RQ3 ローマ支配の拡張問題が多項式時間で解けることにより、構造的グラフクラスにおいて最適な列挙が可能になるか？
• RQ4 パスおよびその他の単純なグラフ族における最小RDFの正確な数え上げ式を導出できるか？
• RQ5 弦的グラフの列挙時間は O(1.8940^n) よりも改善可能か、あるいは下界を引き上げることは可能か？

主な発見

• 区間グラフおよび森における最小ローマ支配関数の数は正確に Ω(√3^n) であり、列挙アルゴリズムは O(1.7321^n) 時間で実行され、最適性を達成している。
• 弦的グラフでは、列挙アルゴリズムが O(1.8940^n) 時間で実行され、一般グラフの O(1.9332^n) の境界を改善している。
• スプリットグラフおよびコバイパルティグラフでは、アルゴリズムが O(1.4656^n) 時間で実行され、Ω(√2^n) の下界に近く達している。
• パスにおける最小RDFの数え上げの再帰的公式が導出され、正確な列挙と解析が可能になった。
• 本稿では、ローマ支配の拡張問題が多項式時間で解けることが確立されており、これが多項式遅延列挙の可能性を裏付けている。
• 結果から、弦的グラフおよび他のクラスにおける列挙計算量のさらなる改善は、未解決の問題であると考えられる。