[論文レビュー] Root multiplicities for Borcherds algebras and graph coloring

G. Arunkumar, Deniz Kus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボルチャーツ代数における根の重複度とグラフ彩色の間の新しい関係を確立し、関連するグラフの一般化彩色多項式がLie理論的公式を介して根の重複度を計算することを示している。さらに、重複度を一意なシンクをもつ無閉路向き付けと結びつけ、Lyndon語に基づく根空間の基底を構成し、彩色多項式のStanleyの双対性定理に対してLie理論的証明を提供している。

ABSTRACT

We establish a connection between root multiplicities for Borcherds-Kac-Moody algebras and graph coloring. We show that the generalized chromatic polynomial of the graph associated to a given Borcherds algebra can be used to give a closed formula for certain root multiplicities. Using this connection we give a second interpretation, namely that the root multiplicity of a given root coincides with the number of acyclic orientations with a unique sink of a certain graph (depending on the root). Finally, using the combinatorics of Lyndon words we construct a basis for the root spaces corresponding to these roots and determine the Hilbert series in the case when all simple roots are imaginary. As an application we give a Lie theoretic proof of Stanley's reciprocity theorem of chromatic polynomials.

研究の動機と目的

• ボルチャーツ代数における根の重複度の観点から、一般化彩色多項式のLie理論的解釈を確立すること。
• ボルチャーツ代数に関連するグラフにおける一意なシンクをもつ無閉路向き付けと根の重複度を結びつけること。
• 特にすべての虚的単純根の場合に、Lyndon語に基づく組合せ的基底を根空間に構成すること。
• 補グラフが三角形を含まない場合に、代数の正部分のHilbert級数の公式を導出すること。
• ボルチャーツ代数の代数的構造を用いて、彩色多項式のStanleyの双対性定理をLie理論的証明すること。

提案手法

• ボルチャーツ代数の分母恒等式を用い、根の重複度を正根の積展開における係数に関連づける。
• 各頂点 $i$ に対して $k_i$ 種類の色を割り当てたグラフ $G$ の適切なマルチ彩色を数える一般化彩色多項式 $\pi^{G}_{\mathbb{k}}(q)$ を定義し、生成関数恒等式を介して根の重複度を計算できることを示す。
• GreeneとZaslavskyの結果を用い、一意なシンクをもつ無閉路向き付けの数と根の重複度との間の関係を、モビウス反転を介して確立する。
• Lyndon語に基づく組合せ的モデル $C^i(\mathbb{k}, G)$ を構成し、各語 $\mathbb{w}$ が根空間 $\mathfrak{g}_{\eta(\mathbb{k})}$ 内のLie語 $\iota(\mathbb{w})$ に写像され、これが基底をなす。
• すべての単純根が虚的である場合、代数の正部分は自由に部分的に可換なLie代数として特定され、独立集合多項式の使用が可能になる。
• Hilbert級数は独立集合多項式の対数微分を用いて導出され、補グラフが三角形を含まない場合にはLucas多項式を含む公式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボルチャーツ代数における根の重複度は、一般化彩色多項式などのグラフ彩色不変量を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 根の重複度の組合せ的解釈は、一意なシンクをもつ無閉路向き付けとしてどのように解釈できるか？
• RQ3 Lyndon語に基づく構成は、ボルチャーツ代数の根空間に明示的な基底をもたらすことができるか？
• RQ4 ボルチャーツ代数の正部分のHilbert級数は、関連するグラフの独立集合多項式とどのように関係するか？
• RQ5 彩色多項式のStanleyの双対性定理は、Lie代数的構造から導出可能か？

主な発見

• 根 $\eta(\mathbb{k}) = \sum k_i \alpha_i$ の重複度は、$\sum_{\ell|\mathbb{k}} \frac{\mu(\ell)}{\ell} |\pi^{G}_{\mathbb{k}/\ell}(q)[q]|$ で与えられ、ここで $|\pi^{G}_{\mathbb{k}/\ell}(q)[q]|$ は一般化彩色多項式における $q$ の係数の絶対値である。
• 根の重複度は、$\sum_{\ell|\mathbb{k}} \frac{\mu(\ell)}{\ell} \cdot \frac{1}{(\mathbb{k}/\ell)!} \cdot O_i(G(\mathbb{k}/\ell))$ に等しく、ここで $O_i(G(\mathbb{k}/\ell))$ は結合グラフ $G(\mathbb{k}/\ell)$ における頂点 $i$ を一意なシンクとする無閉路向き付けの数を表す。
• 根空間 $\mathfrak{g}_{\eta(\mathbb{k})}$ の基底は、Lyndon語に基づく組合せ的モデル $C^i(\mathbb{k}, G)$ を用い、各語 $\mathbb{w}$ がLie語 $\iota(\mathbb{w})$ に写像され、それが空間を張る。
• すべての単純根が虚的である場合、$\mathfrak{n}^+$ のHilbert級数はグラフの独立集合多項式によって決定され、同次成分の次元 $M_k$ はLucas多項式を用いて表される：$M_k = \frac{1}{k} \sum_{d|k} \mu(k/d) \langle k \rangle_{v, -e}$、ここで $v$ と $e$ は補グラフの頂点数と辺数を表す。
• 著者らは、Lie理論的道具を用いて、彩色多項式のStanleyの双対性定理を証明し、$q$-適合な向き付けと彩色のペairの数が、$-1$ における彩色多項式の符号付き和によって記述されることを示した。
• 補グラフが三角形を含まない場合、独立集合多項式の対数微分における数 $N_k$ は $N_k = \frac{1}{k} \langle k \rangle_{v, -e}$ に等しく、これによりLucas多項式と直接的に関連づけられた。