[論文レビュー] Root Systems and the Quantum Cohomology of ADE resolutions

Jim Bryan, Amin Gholampour|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有限群 $G \subset SU(2)$ に対する DuVal 奇性 ${\mathbb{C}}^2/G$ の最小解消 $Y$ の ${\mathbb{C}}^{*}$-等変量子コhomology 環を計算し、$G$ に付随する ADE ルート系を用いて量子積を表現する。主な結果は、ルート系の構造を用いた量子積の閉じた公式であり、単純なルート系に限らない非単純ルート系へ一般化され、Crepant Resolution 猜定に基づいて、スタック $[{\/mathbb{C}}^2/G]$ のオルビフォルト Gromov-Witten ポテンシャルを予測する。

ABSTRACT

We compute the C*-equivariant quantum cohomology ring of Y, the minimal resolution of the DuVal singularity C^2/G where G is a finite subgroup of SU(2). The quantum product is expressed in terms of an ADE root system canonically associated to G. We generalize the resulting Frobenius manifold to non-simply laced root systems to obtain an n parameter family of algebra structures on the affine root lattice of any root system. Using the Crepant Resolution Conjecture, we obtain a prediction for the orbifold Gromov-Witten potential of [C^2/G].

研究の動機と目的

• $G$ に付随する ADE ルート系を用いて、${\mathbb{C}}^2/G$ の最小解消 $Y$ の量子コホモロジーを記述することにより、古典的 McKay 対応の量子拡張を確立すること。
• ${\mathbb{C}}^{*}$-等変量子コホモロジー環を、 genus 0 Gromov-Witten 不変量とルート系のデータを用いて計算すること。
• 得られた Frobenius 代数構造を非単純ルート系へ一般化し、アフィンルート格子上に $n$ パラメータ族の代数構造を提供すること。
• Crepant Resolution 猜定を用いて、スタック $[{\/mathbb{C}}^2/G]$ のオルビフォルト Gromov-Witten ポテンシャルを予測すること。

提案手法

• 量子積は、カルタン行列と量子パラメータ $q_i$ を含む公式により表現され、構造定数は正ルート $\beta$ を通じて $\left\langle v,\beta\right\rangle\left\langl... (省略)
• 量子コホモロジー上のペアリングは、${\mathbb{Q}}[t,t^{-1}][[q_1,\ldots,q_n]]$-値ペアリングへ拡張され、$\left\langle 1,1\right\rangle = -1/(t^2|G|)$ である。
• genus 0 等変 Gromov-Witten 不変量の計算は、$Y$ を変形族を介して三様体 $W$ と関連づけ、Bryan, Katz, Leung の手法を適用することにより達成される。
• 次数 0 不変量は局所化技術を用いて計算され、生成関数の三重微分によりポテンシャル関数が導出される。
• ワイル群作用が Frobenius 代数構造を保存することを示し、非単純ルート系の場合の結合則は、単純ルート系への還元により証明される。
• 量子パラメータを単位根に特殊化し、$H(u) = \frac{1}{2}\tan(-u/2)$ を用いて三角関数と関連付けることにより、$[{\/mathbb{C}}^2/G]$ のオルビフォルト Gromov-Witten ポテンシャルの推測的公式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathbb{C}}^{*}$-等変量子コホモロジーは、$G$ に付随する ADE ルート系を用いて、${\mathbb{C}}^2/G$ の最小解消 $Y$ に対してどのように表現できるか？
• RQ2 量子コホモロジー環の代数的構造は何か？ また、非単純ルート系へどのように一般化されるか？
• RQ3 ワイル群は量子コホモロジーにどのように作用するか？ そして、Frobenius 代数構造を保存するか？
• RQ4 Crepant Resolution 猜定を用いて、$[{\/mathbb{C}}^2/G]$ のオルビフォルト Gromov-Witten ポテンシャルを、解消の不変量に基づいて予測できるか？

主な発見

• $v,w \in H^2(Y,\mathbb{Z})$ の量子積は、$v \star w = -t^2|G|\left\langle v,w\right\rangle + \sum_{\beta \in R^+} \left\langle v,\beta\right\rangle\left\langle w,\beta\right\rangle t\frac{1+q^{\beta}}{1-q^{\beta}}\beta$ で与えられ、$q^\beta = \prod q_i^{b_i}$ であり、$\beta = \sum b_i \alpha_i$ である。
• 量子コホモロジー環は、${\mathbb{Q}}[t,t^{-1}][[q_1,\ldots,q_n]]$ 上の Frobenius 代数であり、$\left\langle v\star w,u\right\rangle = \left\langle v,w\star u\right\rangle$ を満たす。
• 非単純ルート系への代数構造の一般化は、単純ルート系への還元により行われ、この設定において結合則が証明される。
• ワイル群は Frobenius 代数に自己同型として作用し、量子積構造を保存する。
• $[{\/mathbb{C}}^2/G]$ のオルビフォルト Gromov-Witten ポテンシャルの推測的公式は、$F_{\mathcal{X}} = 2t \sum_{\beta \in R^+} h(Q_\beta)$ として得られ、ここで $h'''(u) = \frac{1}{2}\tan(-u/2)$ であり、$Q_\beta = \pi + \sum_k \frac{b_k}{|G|}(2\pi n_k + \sum_g \sqrt{2 - \chi_V(g)} \bar{\chi}_k(g) x_{[g]})$ である。
• この予想は $G = \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_4$ に対して検証されており、最近ではすべての $\mathbb{Z}_n$ に対しても確認されており、モノドロミー制約および部分群還元関係と整合的である。