[論文レビュー] Rosser provability and the second incompleteness theorem

Taishi Kurahashi|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ペアノ算術における3つの異なるロッサー証明可能性述語を構成し、さまざまな導出条件の組み合わせを満たすことを示した。これにより、ヒルベルト＝ベルナイスの導出条件だけでは、整合性文の非証明可能性を保証できないことが明らかになり、第二不完全性定理の適用における制限が示された。

ABSTRACT

This paper is a continuation of Arai's paper on derivability conditions for Rosser provability predicates. We investigate the limitations of the second incompleteness theorem by constructing three different Rosser provability predicates satisfying several derivability conditions.

研究の動機と目的

• 第二不完全性定理の限界を、特定の導出条件を満たすロッサーチェック可能な述語の構成によって調査すること。
• ヒルベルト＝ベルナイスの導出条件が、整合性文の非証明性を含意しないことの証明により、第二不完全性定理の標準的定式化に疑問を呈すること。
• 特にD2およびD3の導出条件が、ある理論における整合性文の証明可能性または非証明可能性を決定づける役割を果たす仕組みを明確にすること。
• 秋田の先行研究を拡張し、HB条件を満たすが同時に整合性文を証明する例を構成することで、特定の条件集合が不十分であることを示すこと。

提案手法

• 段階的証明列挙と「ベルが鳴る」イベントによって動作を変化させる動的証明探索メカニズムに基づき、3つの異なるロッサーチェック可能な述語を構成する。
• ある式がPAで証明可能であるか、または特定の段階より前にその否定が証明可能でない場合にのみ、式が証明可能であると定義する証明述語Pr₃^R(x)を定義する。ベルの鳴りは、証明ルールの変更を示す。
• クリプケモデル的技法と再帰的構成を用いて、HB1、HB2、HB3、D1、D2、D3などの特定の導出条件を満たすように述語を保証する。
• 証明段階を模倣し、各段階でどの式が証明可能または反証可能とみなされるかを追跡するための集合X_mおよびP_T,mの列を用いる。
• ケース解析による主要な性質の証明：1つはベルが一度も鳴らない（整合性）場合、もう1つは特定の段階mでベルが鳴る（不整合の検出）場合。
• 証明包含に関する主張と整合性仮定を用いて、PA内での形式的導出を通じて、述語が所望の導出条件を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロッサーチェック可能な述語を構成し、ヒルベルト＝ベルナイスの導出条件（HB1, HB2, HB3）を満たすと同時に、自身の整合性を証明できるか？
• RQ2 HB1, HB2, HB3の集合が、ロッサーチェック可能な文脈において、整合性文の非証明性を保証するのに十分か？
• RQ3 ヒルベルト＝ベルナイス＝ローブの条件（D1, D2, D3）は、ロッサーチェック可能な述語に制限した場合でも、第二不完全性定理が成立するための必要条件であるか？
• RQ4 D1とD2を満たすが整合性を証明できないロッサーチェック可能な述語、あるいはD1とD3を満たすが依然として整合性を証明できる述語を構成できるか。これにより、これらの条件の独立性を示せるか？
• RQ5 ロッサーチェック可能な文脈において、導出条件と整合性文の証明可能性の正確な関係は何か？

主な発見

• 本論文は、HB1, HB2, HB3を満たすが、¬Pr₃^R(⌜0≠0⌝)を証明するロッサーチェック可能な述語Pr₃^Rを構成した。これにより、HB条件だけでは整合性の非証明性が保証されないことが示された。
• これは、ヒルベルト＝ベルナイスの導出条件が第二不完全性定理を保証するのに不十分であることを示しており、それらが十分であると一般的に想定されていることに反する。
• 構成された述語Pr₃^RはD1およびD3を満たし、同時にHB1, HB2, HB3も満たすが、D2を満たさない。これにより、これらの条件の独立性が示された。
• 証明は、段階mで「ベルが鳴る」イベントによって動作を変化させる動的メカニズムに依存しており、標準的な導出条件が満たされても、整合性を証明することが可能になる。
• Pr₃^Rが∀x(Pr₃^R(x) → Pr₃^R(⌜Pr₃^R(ẋ)⌝))および∀x(Prf₃(x,y) → Pr₃^R(x))を満たすことが示され、量化子および証明条件における挙動が確認された。
• すべての真のΔ₀文がPr₃^Rのもとで証明可能であることが証明され、述語が有界論理式に関して真を正しく捉えていることが示されたが、非標準的な挙動を示すことも明らかになった。