[論文レビュー] Rotation numbers for Jacobi matrices with matrix entries

Hermann Schulz‐Baldes|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2007

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 22被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、行列係数をもつ自己共役ブロック三重対角ヤコビ行列に対する回転数概念の行列一般化を、シンプレクティック力学から導かれるユニタリ転送行列を用いて提案する。固有値とユニタリ行列 $ U_N^E $ の固有位相の間の対応関係を確立し、最適な誤差制御のもとで、行列係数に確率的要素を含む場合の状態密度関数（IDS）の摂動的計算が可能となる。

ABSTRACT

A selfadjoined block tridiagonal matrix with positive definite blocks on the off-diagonals is by definition a Jacobi matrix with matrix entries. Transfer matrix techniques are extended in order to develop a rotation number calculation for its eigenvalues. This is a matricial generalization of the oscillation theorem for the discrete analogues of Sturm-Liouville operators. The three universality classes of time reversal invariance are dealt with by implementing the corresponding symmetries. For Jacobi matrices with random matrix entries, this leads to a formula for the integrated density of states which can be calculated perturbatively in the coupling constant of the randomness with an optimal control on the error terms.

研究の動機と目的

• $ L \times L $ 行列係数をもつヤコビ行列に対する古典的挙動定理（回転数）を一般化すること。
• 固有値の数え上げをユニタリ行列 $ U_N^E $ の位相の変化で追跡するユニタリ転送行列形式を構築すること。
• 時間反転対称性クラス（実、対称、自己双対）を適切な行列の対称性を用いて回転数形式に組み込むこと。
• ユニタリ群およびラグランジュ・グラスマン多様体上の不変測度を用いて、準一次元系におけるランダム位相近似を正当化すること。

提案手法

• エネルギー依存のブロック行列 $ V_n $（自己共共役）および $ T_n $（正定値）を用いて転送行列 $ \mathcal{T}_n^E $ を定義する。
• シンプレクティック転送行列のモビウス作用をラグランジュ・グラスマン多様体に適用し、ステレオグラフィック射影を介してユニタリ行列 $ U_N^E $ を構成する。
• 解析的摂動論を用いて、エネルギー $ E $ における固有位相 $ \theta_N^{E,l} $ の実解析的および単調増加性を確立する。
• ヤコビ行列 $ H^N $ の固有値と、$ \theta_N^{E,l} = \pi \mod 2\pi $ を満たす個数の間の関係を確立し、ストゥームの挙動定理を一般化する。
• 時間反転不変性を記述するため、実、対称、自己双対の対称性制約を導入する。
• 確率的行列係数に対して摂動論を適用し、トレース推定および超作用素技術を用いてIDSおよびリヤプノフ指数の主要補正項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的回転数概念を行列値係数をもつヤコビ行列にどのように一般化できるか？
• RQ2 ブロック三重対角行列の固有値とユニタリ転送行列の固有位相との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 時間反転対称性（実、対称、自己双対）は、回転数形式の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 確率的行列係数をもつヤコビ作用素の状態密度関数（IDS）を最適な誤差制御のもとで摂動的に計算できるか？
• RQ5 ユニタリ群上の不変測度は、準一次元系におけるランダム位相近似を正当化するために果たす役割は何か？

主な発見

• ユニタリ行列 $ U_N^E $ の固有位相 $ \theta_N^{E,l} $ は、$ E $ に関して実解析的であり、$ E $ が $ -\infty $ から $ \infty $ に変化する間に、0 から $ 2\pi N $ まで単調に増加する。
• 実数 $ E \in \mathbb{R} $ が $ H^N $ の重複度 $ m $ の固有値であるための必要十分条件は、$ \theta_N^{E,l} $ のうちちょうど $ m $ 個が $ \theta_N^{E,l} = \pi \mod 2\pi $ を満たすことである。
• 行列 $ S_N^E = \frac{1}{i}(U_N^E)^* \partial_E U_N^E $ は正定値であり、固有位相の単調増加性を裏付けている。
• 確率的行列係数の場合、IDS は $ \mathcal{N}_\lambda(E) = \mathbb{E}_\sigma \mathcal{N}_{\lambda,\sigma}(E) + \mathcal{O}(\lambda^2 / g_e, \lambda^2 / g_h^3) $ で与えられ、主要補正項は $ \mathbb{E}_\sigma({\cal P}_\sigma) $ から生じる。
• リヤプノフ指数 $ \gamma_\lambda(E) $ の摂動補正項は、$ (e^{2\kappa} - \mathbf{1})^{-1} $ と $ \mathbb{E}_\sigma(a_\sigma + b_\sigma) $ を含むトレース式の実部から生じる。誤差境界は超作用素ノルムを用いて導出される。
• 摂動展開における誤差項は $ \mathcal{O}(\lambda / \sqrt{L}) $ で有界であり、トレース寄与項が主要項の振る舞いに影響しないことが示されている。