[論文レビュー] Rotation numbers for planar attractors of equivariant homeomorphisms

Begoña Alarcón|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、原点に漸近的に安定な不動点と無理数回転数を持つ平面における $ζ_m$-等変で、方向を保ち、散逸するホメオモルフィズムを構成する。対称的設定へのデニョイ写像の構成法を適応することで、そのような写像が、原始的端の円周上に $ζ_m$-等変なデニョイ写像を誘導することを証明し、$ζ_m$-対称性が回転数を有理数に強制するものではないことを示し、対称系における有理数性の事前の期待を反証する。

ABSTRACT

Given an integer m>1 we consider Zm-equivariant and orientation preserving homeomorphisms in the plane with an asymptotically stable fixed point at the origin. We present examples without periodic points and having some complicated dynamical features. The key is a preliminary construction of Zm-equivariant Denjoy maps of the circle.

研究の動機と目的

• 平面における $ζ_m$-等変な力学が必然的に有理数回転数をもたらすかどうかを調査し、対称性が有理的であると仮定することを挑戦する。
• 対称的設定へのデニョイ写像理論を拡張するため、円周上に $ζ_m$-等変なデニョイ写像を構成する。
• 原点に漸近的に安定な不動点と無理数回転数をもち、それ以外に周期点を持たない $ζ_m$-等変で散逸的である平面ホメオモルフィズムの存在を示す。
• 平面ホメオモルフィズムが $ζ_m$-対称性を持つ場合、その回転数が有理数に制限されないことを示す。

提案手法

• 最小カントール集合 $C$ が $2\pi/m$ の回転に関して不変となるように、円周上に $ζ_m$-等変なデニョイ写像を構成する。
• 原始的端の理論を用いて、非有界で適切な吸引域をもつ平面ホメオモルフィズムに回転数を関連付ける。
• 極座標で $\theta_1 = f(\theta)$ および $\rho_1 = R(\theta, \rho)$ により平面ホメオモルフィズム $h$ を定義する。ここで $f$ は対称的なデニョイ写像であり、$R$ は半径方向の収縮関数である。
• $\theta \mapsto \theta + 1/m$ に関して $\Pi(\theta)$（半径ダイナミクスを制御する関数）が不変となるように、$R(\theta, \rho)$ が $\u03b6_m$-等変であることを保証する。
• $f(\theta + k/m) = f(\theta) + k/m$ および $\Pi(\theta + k/m) = \Pi(\theta)$ をすべての $k = 0, \dots, m-1$ に対して検証することで、$h$ が $\u03b6_m$-等変であることを証明する。
• 文献[3]の結果を活用し、円周上の任意のデニョイ写像が、同じ回転数を持つ適切な平面ホメオモルフィズムに引き上げられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ζ_m$-等変な平面ホメオモルフィズムは無理数回転数をもつことができるか？
• RQ2 $ζ_m$-対称性が散逸系において必然的に有理数回転数をもたらすのか？
• RQ3 最小カントール集合をもつデニョイ型ダイナミクスを、$\u03b6_m$-回転と可換になるように構成できるか？
• RQ4 原点に漸近的に安定な不動点と、それ以外に周期点を持たない $ζ_m$-等変な平面ホメオモルフィズムを構成することは可能か？

主な発見

• 本稿は、最小カントール集合 $C$ が $2\pi/m$ の回転に関して不変となるような、円周上に $ζ_m$-等変なデニョイ写像を構成する。
• 原点に漸近的に安定な不動点と無理数回転数をもち、$ζ_m$-等変で散逸的かつ方向を保つ平面ホメオモルフィズムの存在を証明する。
• 原始的端の空間への誘導写像は、$ζ_m$-等変なデニョイ写像と位相的に共役であり、対称性が原始的端構造に保存されていることを確認する。
• 構成されたホメオモルフィズムは、対称性にもかかわらず、不動点以外に周期点を持たず、デニョイ写像による複雑なダイナミクスを示す。
• 回転数は $ζ_m$-対称性によって有理数に制限されず、このような対称性が有理的であることを強制すると期待されるが、それは反証された。