[論文レビュー] Rotation surfaces of constant Gaussian curvature as Riemannian approximation scheme in sub-Riemannian Heisenberg space $\mathbb H^1$

José M. M. Veloso|ArXiv.org|Sep 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、サブリーマン多様体ヒーゼンベルク空間 $ℝ^1$ におけるガウス曲率の2つの異なる定義を比較する：リーマン近似極限によるもの（$K^\infty$）とガウス写像形式主義によるもの（$K$）。これらが一致しないことを証明し、$K^\infty = -dA(f_2) - A^2$ が関数 $A$ のみに依存することを示している。また、$K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ という恒等式を用いて、リーマン近似枠組みにおけるガウス・ボンネの定理がストークスの定理から直接導かれることが明らかになった。本稿では、$K^\infty$ が一定である回転対称な表面を分類し、曲率の符号に応じて楕円型、放物型、双曲型の3種類に明確に区別している。

ABSTRACT

We verify if Gausssian curvature of surfaces and normal curvature of curves in surfaces introduced by Diniz-Veloso arXiv:1210.7110 and by Balogh-Tyson-Vecchi arXiv:1604.00180 to prove Gauss-Bonnet theorems in Heisenberg space $\mathbb H^1$ are equal. The authors in arXiv:1604.00180 utilize a limit of Gaussian and normal curvatures defined in the Riemannian approximations scheme $(\mathbb R^3,g_L)$ introduced by Gromov to study sub-Riemannian spaces. They show that these limits exist (unlike the limit of Riemannian surface area form or length form), and they obtain Gauss-Bonnet theorem in $\mathbb H^1$ as limit of Gauss-Bonnet theorems in $(\mathbb R^3,g_L)$ when $L$ goes to infinity. The approach in arXiv:1210.7110 uses an analogous of Gauss map defined in the unitary cylinder and they show that the curvature defined by the Gauss map corresponds to the curvature of covariant derivative which is null on left invariant vector fields of $\mathbb H^1$. The proof of Gauss-Bonnet theorem follows as the classical one. Curvatures do not coincide. For comparison sake we apply the same formalism of arXiv:1210.7110 to get the curvatures of arXiv:1604.00180 . With the obtained formulas, it is possible to prove the Gauss-Bonnet theorem in arXiv:1604.00180 as a straightforward application of Stokes theorem. To exemplify the Gaussian curvature of arXiv:1604.00180 we calculate the rotation surfaces of constant curvature in $\mathbb H^1$, which are only of three types.

研究の動機と目的

• サブリーマン多様体ヒーゼンベルク空間 $\mathbb{H}^1$ におけるリーマン近似に基づくガウス曲率 $K^\infty$ とガウス写像に基づく曲率 $K$ を比較すること。
• リーマン極限における表面法線の垂直成分を符号化する関数 $A$ のみに依存する $K^\infty$ の依存関係を示すこと。
• リーマン近似枠組みにおけるガウス・ボンネの定理が、恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ を用いてストークスの定理から直接導かれることが示されること。
• リーマン近似枠組みにおけるガウス・ボンネの定理が、極限を取らずにストークスの定理から直接導かれることが示されること。
• $\mathbb{H}^1$ 内の回転対称な表面で $K^\infty$ が一定であるもののすべてを分類し、その幾何的性質がユークリッド空間の一定曲率表面とどのように異なるかを特定すること。

提案手法

• 表面が $\mathbb{H}^1$ 内にあるときの $(\mathbb{R}^3, g^L)$ 上のリーマンガウス曲率 $K^L$ を導出し、$L \to \infty$ の極限を取ることで $K^\infty = -dA(f_2) - A^2$ を得る。
• 文献[3]のガウス写像形式主義を適用し、曲率 $K = d\alpha \wedge dA(f_3, f_2)$ を計算する。これは $K^\infty$ とは異なり、$L \to \infty$ の極限で消える。
• 回転表面のパラメータ表示 $(r(t), 0, c(t))$ を $z$-軸の周りに回転させ、水平曲線を保つための条件 $\theta' = \sqrt{1 - (r')^2}/r$ を課す。
• 定数 $K^\infty$ を持つ表面に対して、常微分方程式系 $K^\infty + \frac{d^2}{dt^2}(\ln r^2) + \frac{d}{dt}(\ln r^2) = 0$ と $c' = \frac{1}{2}r\sqrt{1 - (r')^2}$ を導出する。
• $K^\infty > 0$、$K^\infty = 0$、$K^\infty < 0$ の各場合について常微分方程式を解き、三角関数、代数関数、双曲線関数を用いた明示的解を得る。
• 得られた表面が有限領域内でのみ定義可能であることを確認し、常微分方程式における平方根内が正である条件から、定義域の上限が決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブリーマン多様体ヒーゼンベルク空間 $\mathbb{H}^1$ におけるガウス曲率の2つの定義——リーマン近似によるもの（$K^\infty$）とガウス写像によるもの（$K$）——は一致するか？
• RQ2 $K^\infty$ が表面の幾何的データ、特に関数 $A$ に対してどのように依存するかの明示的依存関係は何か？
• RQ3 リーマン近似枠組みにおけるガウス・ボンネの定理は、極限を取らずにストークスの定理から直接導けるか？恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ を用いて示せるか？
• RQ4 リーマン近似枠組みにおいて $K^\infty$ が一定である回転対称表面の完全な族は何か？また、これらはユークリッド空間の一定曲率表面とはどのように異なる幾何的性質を持つのか？
• RQ5 $K^\infty > 0$、$K^\infty = 0$、$K^\infty < 0$ の各場合における明示的なパラメトリック解と定義域制限は何か？

主な発見

• リーマン近似に基づく曲率 $K^\infty$ とガウス写像に基づく曲率 $K$ は等しくない。$K^\infty = -dA(f_2) - A^2$ である一方、$K = d\alpha \wedge dA(f_3, f_2)$ であり、後者は $L \to \infty$ の極限で消える。
• 極限曲率 $K^\infty$ は関数 $A$ のみに依存する。$A$ はリーマン極限における表面法線の垂直成分のずれを測る量であり、$\alpha$ とは独立である。
• 恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ が成り立つため、リーマン近似枠組みにおけるガウス・ボンネの定理がストークスの定理から極限を取らずに直接導ける。
• 回転対称表面では、常微分方程式系が $K^\infty + \frac{d^2}{dt^2}(\ln r^2) + \frac{d}{dt}(\ln r^2) = 0$ に簡略化され、$c' = \frac{1}{2}r\sqrt{1 - (r')^2}$ を満たす。解は $K^\infty$ の符号に応じて明示的に分類される。
• 定数 $K^\infty$ を持つ回転表面は、正確に3つの異なるクラスに分類される：(1) $K^\infty > 0$ の場合、$r(v) = r_0\sqrt{\cos(\sqrt{K^\infty}v)}$、(2) $K^\infty = 0$ の場合、$r(v) = r_0\sqrt{v}$、(3) $K^\infty < 0$ の場合、$r(v) = r_0\sqrt{\cosh(\sqrt{-K^\infty}v)}$。各々は有限区間でのみ定義される。
• 水平曲線を伴う表面の可視化が行われ、定義域は $1 - (r')^2 \geq 0$ である必要があるため、$K^\infty > 0$ および $K^\infty < 0$ の場合、有限の存在区間が得られ、$K^\infty = 0$ の場合は $v > 0$ が必要となる。