[論文レビュー] Rotationally invariant hypersurfaces with constant mean curvature in the Heisenberg group H^n

Manuel Ritoré, César Rosales|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、回転対称性を用いて、Heisenberg群 ℍⁿ 内の定常平均曲率（CMC）を持つ回転的不変超曲面を分類する。CMCの偏微分方程式を常微分方程式系に簡略化することで、Delaunayの分類のHeisenberg群版を確立し、CMC超曲面がノイド、球面、ケーテノイドであることを特定するとともに、H > 0 に対して、唯一のコンパクトで埋め込まれた回転的対称CMC超曲面が球面 S_H であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we study sets in the $n$-dimensional Heisenberg group $\hhn$ which are critical points, under a volume constraint, of the sub-Riemannian perimeter associated to the distribution of horizontal vector fields in $\hhn$. We define a notion of mean curvature for hypersurfaces and we show that the boundary of a stationary set is a constant mean curvature (CMC) hypersurface. Our definition coincides with previous ones. Our main result describes which are the CMC hypersurfaces of revolution in $\hhn$. The fact that such a hypersurface is invariant under a compact group of rotations allows us to reduce the CMC partial differential equation to a system of ordinary differential equations. The analysis of the solutions leads us to establish a counterpart in the Heisenberg group of the Delaunay classification of constant mean curvature hypersurfaces of revolution in the Euclidean space. Hence we classify the rotationally invariant isoperimetric sets in $\hhn$.

研究の動機と目的

• n次元Heisenberg群 ℍⁿ 内の回転的不変超曲面が定常平均曲率（CMC）をもつものについての特徴付けを行う。
• 文献に先行する定義と整合するように、ℙⁿ 内の超曲面に対する平均曲率の定義を提示し、正当化する。
• 回転の対称性を用いて、ℙⁿ 内のCMC回転超曲面が存在するかを特定し、古典的なDelaunay分類を非リーマン的設定に拡張する。
• ℙⁿ 内の回転的不変等周集合を同定する。これは体積制約下での周囲長最小化に重要である。

提案手法

• 水平ベクトル場とDe Giorgiの周囲長定式化を用いて、ℙⁿ 内の部分リーマン的周囲長を定義する。
• 超曲面上の水平法線ベクトル場 ν_H のリーマン的発散度として平均曲率の概念を導入する。
• t軸まわりの回転対称性を活用し、CMC偏微分方程式を変数 (x, σ, t) における常微分方程式系に簡略化する。
• リーマン面上の正則1形式の使用を含む、幾何学的および解析的技法を用いて得られた常微分方程式系を解析する。
• 対称性と反転原理を応用し、常微分方程式系の局所解から完全で埋め込まれた解を構成する。
• 複素解析を用いて t 座標に関連する積分を評価し、t₂ > 0 を証明することで、自己交差とノイド型幾何構造を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Heisenberg群 ℍⁿ 内で、完全で埋め込まれており、回転的対称な定常平均曲率を持つ超曲面は何か？
• RQ2 CMC方程式が ℍⁿ で回転対称性をもつとき、どのような解の型が出現するか？
• RQ3 ユークリッド空間における定常平均曲率曲面のDelaunay分類を、ℙⁿ の部分リーマン的設定に拡張可能か？
• RQ4 ℙⁿ 内の回転的対称等周集合は、例4.2で述べられた球面 S_H と合同か？
• RQ5 平均曲率 H ≠ 0 かつエネルギー E > 0 のとき、ℙⁿ 内のCMC超曲面の幾何的構造はいかなるものか？

主な発見

• コンパクトで埋め込まれており、回転的対称なCMC超曲面として、H > 0 のとき唯一のものは、例4.2で述べられている球面 S_H である。
• H > 0 かつ E > 0 のとき、得られる超曲面は周期的で埋め込まれており、自己交差を示すノイドに類似した形状をとる。これは t₂ > 0 に起因する。
• 最小曲率（H = 0）の回転的対称超曲面として、t軸に直交するユークリッド平面と、ケーテノイド型の曲面のみが存在する。
• 構成されたCMC超曲面は、t に関する x(t) のグラフとして表される曲線によって生成され、x(t) は異なる区間で厳密に減少し、凹または凸を示す。
• t₂ 積分（対称性に戻るまでの時間）は正に評価され、ノイド型構造と表面の非コンパクト性を裏付ける。
• w² = x^{4n−2} − (E + Hx^{2n})² に関連するリーマン面上の正則1形式の使用により、t₂ 積分を正確に評価でき、t₂ > 0 を証明する。