[論文レビュー] Rough sets and three-valued structures

Luisa Iturrioz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、近似空間における下界近似と上界近似が三値 Łukasiewicz 代数へのホモモルフィズムを誘導することを示すことにより、粗い集合と三値 Łukasiewicz 代数との間の強い代数的関係を確立する。主な貢献は、構造を保存する写像を介して粗い集合がその代数に忠実に埋め込まれることを示す表現定理であり、メンバーシップ関数はモンティアの構成を用いて代数的演算に一貫して拡張される。

ABSTRACT

In recent years, many papers have been published showing relationships between rough sets and some lattice theoretical structures. We present here some strong relations between rough sets and three-valued Łukasiewicz algebras.

研究の動機と目的

• 粗い集合の背後にある代数的構造と多値論理との関係を解明すること。
• 粗集合理論と三値 Łukasiewicz 代数との間の正式な関係を確立すること。
• 単調ブール代数と合同関係を用いて、粗い集合上のメンバーシップ関数を代数的演算に拡張すること。
• 粗い集合枠組みが三値 Łukasiewicz 論理の代数的意味論内に表現可能であることを証明すること。

提案手法

• 情報系における区別不能関係を用いて、対象のべき集合上に単調ブール代数を生成する。
• モンティアの構成を適用して、下界近似と上界近似に基づく合同関係 ≡ をべき集合上に定義する。
• 商代数上に新しい演算 ∩dot と ⊕ を定義し、三値 Łukasiewicz 代数を構成する。
• Łukasiewicz 代数の素フィルターの集合への写像 h を商代数から定義し、これがホモモルフィズムであることを示す。
• モイジルの決定原理を用いて写像 h が単射であることを証明し、忠実な表現を保証する。
• 値の max と min 演算を用いて、メンバーシップ関数 μ_A: Ob → {0, 1/2, 1} を演算 ∩dot、⊕、¬ に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗い集合は三値 Łukasiewicz 代数に代数的に埋め込むことができるか？
• RQ2 下界近似と上界近似の演算は、Łukasiewicz 論理の接続詞とどのように関係するか？
• RQ3 粗い集合上のメンバーシップ関数を代数的演算に一貫して拡張する方法はあるか？
• RQ4 単調ブール代数の構造を用いて、合同関係を介して Łukasiewicz 代数を生成できるか？

主な発見

• 商代数 P(Ob)/≡ から三値 Łukasiewicz 代数の素フィルターへの写像 h は、well-defined なホモモルフィズムである。
• ホモモルフィズム h は単射であり、粗い集合が三値 Łukasiewicz 代数に忠実に表現可能であることを証明する。
• メンバーシップ関数 μ_A は、値の max と min 演算を用いて ∩dot と ⊕ に一貫して拡張可能である。
• すべての x ∈ Ob に対して λ_{A⊕B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x)) を満たす。
• 商代数上の演算 ∩dot と ⊕ は、M(A∩dot B) = MA ∩ MB および M(A⊕B) = MA ∪ MB を満たす。
• 商系 (P(Ob)/≡, ∩dot, ⊕, ∼, ▽, 1) の代数的構造は、三値 Łukasiewicz 代数と同型である。