[論文レビュー] Rough solutions of the Einstein constraint equations with nonconstant mean curvature

M. Holst, J. Kommemi+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、境界をもつコンパクト3次元多様体上で、一般化されたコルン不等式、順序付きバナッハ空間におけるバリア法、および変分的技法を用いて、非定数平均曲率をもつアインシュタイン制約方程式の弱解の存在を確立する。ハミルトニアン制約方程式に対しては $L^∞ \cap W^{1,2}$ で解の存在を示し、連立系では $p>3$ に対して正則性を $W^{1,p}$ にまで拡張する。スカラー曲率の符号は任意であり、一般の物質源も扱える。

ABSTRACT

We consider the conformal decomposition of Einstein's constraint equations introduced by Lichnerowicz and York, on a compact manifold with boundary. We use order relations on appropriate Banach spaces to derive weak solution generalizations of known sub- and super-solutions (barriers) for the Hamiltonian constraint. The barriers are combined with variational methods to establish existence of solutions to the Hamiltonian constraint in the intersection of the space of essentially bounded functions and the Sobolev space H1. The result is established for scalar curvature R of the background metric having any sign; non-negative R requires additional positivity assumptions either on the matter energy density or on the trace-free divergence-free part of the extrinsic curvature. Although the formulation is different, the result can be viewed as lowering the regularity of the recent result of Maxwell on rough CMC solutions. We also establish existence of non-CMC solutions of the Hamiltonian and momentum constraint equations. The result is obtained using fixed-point iteration and compactness arguments directly, rather than by building a contraction map. The non-CMC result can be viewed as a type of extension of the regularity of the 1996 non-CMC result of Isenberg and Moncrief to lower regularity and to scalar curvature R having any sign.

研究の動機と目的

• 境界をもつコンパクト3次元多様体上で、非定数平均曲率をもつアインシュタイン制約方程式の弱解の存在を確立すること。
• 前人研究の正則性結果（特にマクレルロヴィッチの $W^{k,2}$ for $k>3/2$ および イゼンバーグ＝モンクリーフの $W^{1,p}$ for $p>3$）を、ハミルトニアン制約方程式に対して $L^\infty \cap W^{1,2}$ のより広いクラスへ拡張すること。
• 境界をもつ多様体上での一般化されたコルン不等式を確立し、文献に未だ存在しなかった新しい技術的道具を提供すること。
• スカラー曲率の符号が任意である場合や一般の物質エネルギー条件を扱えるように、コンフォーマル法に関する先行研究を統合・拡張すること。
• 固定点反復とコンパクト性を用いて、三重計量に関して $W^{1,p}$（$p>3$）および外在的曲率に関して $L^q$（$q=6p/(3+p)$）の非CMC解の存在を、収縮写像法に依存せずに証明すること。

提案手法

• リヒネロヴィッチとヨークのコンフォーラル分解法を用いて、不定な系を、コンフォーラル因子とベクトル場に関する連立楕円型系に還元する。
• 弱正則性仮定のもとで、運動量制約作用素を制御するために、境界をもつ多様体上での一般化されたコルン不等式を適用する。
• 順序付きバナッハ空間における順序関係とバリア法を用いて、ハミルトニアン制約方程式の下界解および上界解を構成する。
• エネルギー最小化とコンパクト性の議論を用いて、$W^{1,2}$ および $L^\infty$ 空間における変分的技法により解の存在を証明する。
• 固定点反復とコンパクト性の議論（収縮写像法を除く）を用いて、$p>3$ に対して $W^{1,p}$ における連立系の解を求める。
• 順序付きバナッハ空間における最大原理と単調性を用いて、$W^{1,2}$-解に対する事前 $L^\infty$ 界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー曲率 $R$ が任意の符号をもつ場合でも、データの正則性を最小限に抑え、$L^\infty \cap W^{1,2}$ でハミルトニアン制約方程式の弱解を構成できるか？
• RQ2 スカラー曲率が非負である場合に、解の存在を保証するための物質エネルギー密度や外在的曲率のトレースフリー部に必要な最小限の仮定は何か？
• RQ3 弱正則性のもとで運動量制約解析を支えるために、境界をもつ多様体上での一般化されたコルン不等式をどのように確立できるか？
• RQ4 非CMC解の正則性を、これまでの結果を越えて $W^{1,p}$（$p>3$）にまで拡張できる範囲はどの程度か？
• RQ5 収縮写像法に依存せずに、固定点反復とコンパクト性を用いて非CMC解の存在を証明できるか？

主な発見

• バリア法と変分的技法を用いて、スカラー曲率 $R$ が任意の符号をもつ場合でも、ハミルトニアン制約方程式の解が $L^\infty \cap W^{1,2}$ に存在することを確立する。
• 非負な $R$ の場合、解の存在を保証するためには、物質エネルギー密度または外在的曲率のトレースフリーで発散なしの部分に追加の正の仮定が必要である。
• 境界をもつ多様体上での一般化されたコルン不等式が導出され、弱正則性のもとで運動量制約の解析に不可欠な技術的道具が提供される。
• 固定点反復とコンパクト性を用いて、三重計量に関して $W^{1,p}$（$p>3$）、外在的曲率に関して $L^q$（$q=6p/(3+p)$）の連立系の解が存在することが示される。
• マクレルロヴィッチの最近の研究（$k>3/2$ に対する $W^{k,2}$ の粗いCMC解）を、$L^\infty \cap W^{1,2}$ まで拡張し、イゼンバーグ＝モンクリーフの非CMC結果を $W^{1,p}$（$p>3$）および任意の $R$ にまで拡張する。
• この枠組みは頑健であり、微小な修正で高次元や閉多様体・開多様体などの他の幾何的設定へも容易に拡張可能である。