[論文レビュー] Roughness of level sets of differentiable maps on Heisenberg group

Artem Kozhevnikov|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、水平微分が全射であるが分解されない $ C^1_H $ マップ $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $ のレベル集合の度量的性質を調査する。このようなレベル集合は、部分リーマン計量のもとで不規則的であり得るが、$ \varepsilon $-Reifenberg平坦であり、ハウスドルフ次元が 2 である。一方、ユークリッド次元は $[1,2]$ の間で変動し、$ d_\infty $-距離の離散和による部分リーマン面積の明確な共面積公式が得られる。

ABSTRACT

We investigate metric properties of level sets of horizontally differentiable maps defined on the first Heisenberg group $(\Bbb{H}^1,d_{cc})$ equipped with the standard sub-Riemannian structure. In particular, we present an exhaustive analysis in a new case of a map $F\in C^1_H(\Bbb{H}^1, \Bbb{R}^2)$ with surjective horizontal differential (an analogue of the classical implicit function theorem). Among other results, we show that a level set of such map is locally a simple curve of Hausdorff sub-Riemannian dimension 2, but, surprisingly, in general its two-dimensional Hausdorff measure can be zero or infinity. Therefore, those level sets (called extsf{vertical curves}) can be of rough nature and not belong to the class of intrinsic regular manifolds.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群 $ \mathbb{H}^1 $ 上の $ C^1_H $ マップ $ F $ のレベル集合の幾何学的・度量的構造を理解すること。ただし、水平微分が全射ではあるが分解されない場合に限る。
• このようなレベル集合が部分リーマン計量およびユークリッド計量のもとで、それぞれの正則性と次元を調査すること。
• 離散的近似による $ d_\infty $-距離の極限を用いて、部分リーマンハウスドルフ測度 $ \mathcal{H}^2_\infty $ の共面積公式を確立すること。

提案手法

• 群拡大の分解不能性を鍵的障害として用い、$ \mathbb{H}^1 $ 上での水平微分 $ D_hF $ の内在的微分可能性と全射性を分析する。
• Reifenberg平坦性の応用により、$ F^{-1}(0) $ の局所的幾何を特徴づけ、スケールが小さくなるにつれて $ \varepsilon \to 0 $ が一様に成り立つことを示す。
• 準距離構造とレベル集合上での $ d_\infty $-距離を用いて、離散和による部分リーマン面積の定義と計算を行う。
• 部分集合の分割 $ \sigma $ における $ \sum d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $ の極限として共面積公式を導出する。これは内在的面積測度と関連する。
• 垂直曲線をレベル集合として取り上げ、アーフォルス正則性とスティルチェス型積分を用いてその正則性を分析する。
• ラクナリ系の級数と粗いパスのリフトを用いて、ユークリッド次元が変動する例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水平微分 $ D_hF $ が全射であるが分解されない $ C^1_H $ マップ $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $ のレベル集合 $ F^{-1}(0) $ は、内在的意味で不規則であるが、Reifenberg平坦である可能性はあるか？
• RQ2 このようなレベル集合の部分リーマンハウスドルフ次元とユークリッドハウスドルフ次元の関係は何か？
• RQ3 部分リーマンハウスドルフ測度 $ \mathcal{H}^2_\infty $ に対して、$ d_\infty $-距離の分割に沿った平方和の極限として離散的共面積公式が成立するか？
• RQ4 レベル集合がアーフォルス正則となる条件は何か？ また、そのとき面積公式にどのような影響を与えるか？
• RQ5 レベル集合が部分リーマン次元 2 を維持しながら、ユークリッドハウスドルフ次元を $[1,2]$ の任意の値にとらせることは可能か？

主な発見

• 近傍 $ U $ におけるレベル集合 $ \Gamma = F^{-1}(0) \cap U $ は、$ \varepsilon \to 0 $ がスケールの細分化に伴って成り立つ $ \varepsilon $-Reifenberg平坦である。
• 集合 $ \Gamma $ は、部分リーマン次元 2 である単純な弧（垂直曲線）である。すなわち、$ \dim_h \Gamma = 2 $。
• ユークリッドハウスドルフ次元は、ラクナリ系の級数を用いた例によって、$[1,2]$ の任意の値を取り得る。
• 部分リーマン面積 $ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) $ は、$ \frac{1}{2} \mathcal{S}^2_\infty(\Gamma) = \liminf_{\|\sigma\| \to 0} \sum_{\sigma} d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $ の極限として与えられる。ここで $ \sigma $ は $ \Gamma $ の分割である。
• もし $ F \in C^{1,\alpha}_H $ かつ $ \alpha > 0 $ ならば、$ \Gamma $ はアーフォルス正則であり、面積公式はスティルチェス積分として表せる：$ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) = \frac{1}{2} \int_\Gamma dz + 2 \int_\Gamma x\,dy - 2 \int_\Gamma y\,dx $。
• レベル集合は $ \mathbb{H}^1 $-正則部分多様体ではない。これは、水平微分が分解されない場合に内在的正則性が失敗することを示している。