[論文レビュー] Round fold maps and the topologies and the differentiable structures of manifolds admitting explicit ones

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、同心の特異値球をもつ安定な折り畝写像（round fold maps）の研究を進める。特異値球が同心であるような折り畝写像をもつ多様体の位相的構造と微分同相型を特徴づける。閉じた連結多様体が特定の逆像構造およびバンドル構造をもつround fold mapをもつならば、それらはほぼ球面をファイバーとする球面上への滑らかなバンドルの連結和に微分同相であることが示され、微分位相幾何学における特殊generic写像および折り畝写像の既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Stable fold maps are fundamental tools in a generalization of the theory of Morse functions on smooth manifolds and its application to studies of geometric properties of smooth manifolds. Round fold maps were introduced as stable fold maps such that the sets of all of the singular values of them are concentric spheres by the author in 2013-4. Topological properties of such maps and topological information of their source manifolds such as homology and homotopy groups have been studied under appropriate conditions by the author. In this paper, we redefine round fold maps respecting the definition. As more precise information of manifolds admitting round fold maps, we study the topologies and differentiable structures of manifolds admitting such maps under appropriate differential topological conditions.

研究の動機と目的

• round fold mapをもつ滑らかな多様体の位相的および微分同相型構造を特徴づけること。
• 特殊generic写像および折り畝写像の既知の分類結果を、より広いクラスのround fold mapへと拡張すること。
• 多様体がほぼ球面ファイバーをもつバンドルの連結和として表現可能であるための必要十分条件を特定すること。
• Reeb空間および正規形がround fold mapのグローバル構造を理解する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 特異集合が標準球面の互いに交わらない和集合であり、特異値集合が同心の球面であることを要件としてround fold mapを再定式化すること。
• Reeb空間の構成を用いてround fold mapのグローバル構造を分析し、それらを元の多様体の位相と関連付けること。
• 既存のround fold mapから新たなround fold mapを構成するために、特に適切なコアに沿って写像を分割する、標準的な分解操作を適用すること。
• Ehresmannのファイブレーション定理を用いて、アニュラス領域上でのある逆像領域が、円柱または穴あき円板に微分同相なファイバーをもつ自明な滑らかなバンドルであることを示すこと。
• ファイバーがほぼ球面（例：$S^{m-n}$ または $S^{m-n} \times [-1,1]$ から1つの円板を除いたもの）である、球面上への滑らかなバンドルの全空間にround fold mapを構成すること。
• 補題1および定理10を用いた帰納的構成法により、このようなバンドルの連結和上にround fold mapを構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則値の逆像が互いに交わらない標準球面の和集合であるようなround fold mapをもつ多様体上で、どのような位相的および微分同相型構造が生じるか？
• RQ2 閉じた多様体が、ほぼ球面ファイバーをもつ球面上への滑らかなバンドルの連結和に微分同相であるための条件は何か？
• RQ3 round fold mapのReeb空間および正規形は、元の多様体のグローバル位相にどのように制約を加えるか？
• RQ4 正則値の逆像の連結成分の数と、連結和分解における和因子の数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 標準球面や特殊generic写像でない多様体に対しても、特に高次元においてround fold mapを構成できるか？

主な発見

• 閉じた連結な$m$-次元多様体$M$が、正則値の逆像が互いに交わらない標準球面の和集合であるround fold map$f: M \to \mathbb{R}^n$をもつための必要十分条件は、$M$が$l-1$個の$S^n$上への滑らかなバンドルの連結和に微分同相であることである。ここで、ファイバーは次元$m-n$のほぼ球面である。
• 正則値の逆像が適切なコア上のある点の逆像として$l$個の連結成分をもつという条件下で、標準球面でないファイバーをもつバンドルの数は少なくとも$l-1-k$個以上である。ここで$k$は$k \leq l/2$を満たす最大の整数である。
• $m \geq 2n$のとき、多様体$M$が定理12の条件(a)〜(c)を満たすround fold mapをもつための必要十分条件は、$M$が$l-1$個のほぼ球面ファイバーをもつ$S^n$上へのバンドルの連結和であることである。ファイバー構造は逆像の成分数によって決定される。
• 標高空間$\mathbb{R}^n$内の各アニュラス領域の逆像は、アニュラス上に自明な滑らかなバンドルであり、ファイバーは$S^{m-n} \times [-1,1]$から内部に標準的円板$D^{m-n+1}$を除いたものに微分同相である。
• このような写像のReeb空間$W_f$の各成分について、$q_f$による前像が、特異集合の像の外側にある限り、$S^{m-n}$に微分同相である。
• 正則値の逆像がファイバーの2つのコピーの和集合であるという条件下で、$S^{m-n}$-バンドルの全空間にround fold mapを構成することが可能であり、これは特殊generic写像の一般化である。