[論文レビュー] Routing for Energy Minimization with Discrete Cost Functions

Lin Wang, Antonio Fernández Anta+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

VLSI and FPGA Design Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非凸かつ段階的コスト関数を有するネットワークにおけるエネルギー消費を最小化するため、離散的レート適応を用いたエネルギー効率の良いネットワークルーティングアルゴリズムを提案する。2段階のアルゴリズム—コスト関数の凸化のための緩和と、その後の確率的丸め—を導入し、均一な需要に対しては定数近似比を達成し、非均一な需要に対してはO(log^{β−1}d)の近似比を達成する。ここでdは最大需要を表す。

ABSTRACT

Energy saving is becoming an important issue in the design and use of computer networks. In this work we propose a problem that considers the use of rate adaptation as the energy saving strategy in networks. The problem is modeled as an integral demand-routing problem in a network with discrete cost functions at the links. The discreteness of the cost function comes from the different states (bandwidths) at which links can operate and, in particular, from the energy consumed at each state. This in its turn leads to the non-convexity of the cost function, and thus adds complexity to solve this problem. We formulate this routing problem as an integer program, and we show that the general case of this problem is NP-hard, and even hard to approximate. For the special case when the step ratio of the cost function is bounded, we show that effective approximations can be obtained. Our main algorithm executes two processes in sequence: relaxation and rounding. The relaxation process eliminates the non-convexity of the cost function, so that the problem is transformed into a fractional convex program solvable in polynomial time. After that, a randomized rounding process is used to get a feasible solution for the original problem. This algorithm provides a constant approximation ratio for uniform demands and an approximation ratio of $O(\log^{β-1} d)$ for non-uniform demands, where $β$ is a constant and $d$ is the largest demand.

研究の動機と目的

• リンクが離散的電力状態で動作するネットワークにおけるエネルギー消費の最小化という課題に取り組む。コスト関数は非凸的である。
• ネットワークリンクにおけるレート適応に起因する離散的コスト関数を有する整数計画問題として問題を定式化する。
• 一般問題の計算の難しさを調査し、NP困難であり、近似も難しいことを示す。
• コスト関数の段階比が有界である実用的特殊ケースのための効率的な近似アルゴリズムを開発する。
• 異なる需要モデル（均一および非均一）における、提案アルゴリズムの近似比に関する理論的保証を提供する。

提案手法

• リンクを離散的動作状態（帯域幅）とそれに対応するエネルギー消費コストでモデル化し、非凸コスト関数を導出する。
• 離散的コスト関数を連続的かつ凸的近似に緩和することで、多項式時間で解ける分数凸計画問題に変換する。
• 分数解を元の離散問題の妥当な整数解に再帰的に変換するための確率的丸め処理を適用する。
• 緩和と丸めの段階で生じる誤差を、パラメータσ（コスト比）およびφ（緩和済み関数と元の関数との差）を用いて制限する。
• 複数種のフローに対する確率的丸めの既存結果を活用し、非均一な需要に対しても近似保証を拡張する。
• 緩和解と元のコスト関数との関係を活用し、φ、σ、および先行の丸め解析から得られる定数λに依存する近似比を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的かつ非凸的コスト関数を有するエネルギー最小化ルーティング問題の計算複雑性は何か？
• RQ2 コスト関数の段階比が有界である実用的クラスの問題に対して、効率的な近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 提案された緩和と丸めフレームワークを用いて、均一および非均一なトラフィック需要に対して達成可能な近似比は何か？
• RQ4 緩和と丸めによって生じる誤差は、最適解に比べて最終的なエネルギー消費にどのように影響するか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、データセンターにおけるネットワークルーティングとエンドデバイス配置の共同最適化にどの程度拡張可能か？

主な発見

• 離散的コスト関数を有するエネルギー最小化ルーティング問題の一般ケースはNP困難であり、近似も難しい。
• ユニットおよび均一な需要に対して、提案アルゴリズムはσおよびφに依存する定数近似比ρを達成する。
• 非均一な需要に対しては、O(log^{β−1}d)の近似比を達成する。ここでdは最大需要、βはコスト関数から得られる定数である。
• 緩和ステップにより、非凸問題が多項式時間で解ける分数凸計画問題に変換される。
• 確率的丸め処理により、整数解の期待エネルギー消費が最適解の定数倍以内に保証される。
• 理論的解析により、緩和と丸めによる誤差が有界であることが確認され、強力な近似保証が得られる。